Multiplikatives Geschlecht

Sei ${\displaystyle X}$ eine orientierte glatte ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle TX}$ ihr Tangentialbündel, das ein reelles Vektorbündel ist, und ${\displaystyle (F_{k})}$ eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe ${\displaystyle f}$. Dann ist das multiplikative Geschlecht von ${\displaystyle X}$ definiert durch

${\displaystyle F(X):=\langle F_{k}(p_{1},\ldots ,p_{k}),[X]\rangle }$,

falls ${\displaystyle n=4k}$ ist und sonst durch ${\displaystyle F(X)=0}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle p_{i}}$ die ${\displaystyle i}$-te Pontrjagin-Klasse von ${\displaystyle TM}$, ${\displaystyle [X]}$ die Fundamentalklasse von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ die natürliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.[6][7]

Sei ${\displaystyle X}$ eine orientierte komplexe Mannigfaltigkeit mit ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$, sei ${\displaystyle TX}$ ihr Tangentialbündel, das ein komplexes Vektorbündel ist, und ${\displaystyle (F_{k})}$ eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe ${\displaystyle f}$. Dann ist das multiplikative Geschlecht von ${\displaystyle X}$ definiert durch

${\displaystyle F(E):=\langle F_{k}(c_{1},\ldots ,c_{k}),[X]\rangle }$,

falls ${\displaystyle n=2k}$ ist und sonst durch ${\displaystyle F(E)=0}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle c_{i}}$ die ${\displaystyle i}$-te Chern-Klasse von ${\displaystyle TX}$, ${\displaystyle [X]}$ die Fundamentalklasse von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ die natürliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.[8]

Die durch die (formale) Potenzreihe

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {1}{2}}z+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i+1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}z^{2i}}$,

wobei ${\displaystyle B_{2i}}$ die Bernoulli-Zahlen sind, definierte multiplikative Folge ${\displaystyle (\operatorname {Td} _{i})}$, heißt Todd-Folge. Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Chern-Klassen lauten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Td} _{0}&=1\\\operatorname {Td} _{1}(c_{1})&=c_{1}/2\\\operatorname {Td} _{2}(c_{1},c_{2})&=(c_{2}+c_{1}^{2})/12\\\operatorname {Td} _{3}(c_{1},c_{2},c_{3})&=(c_{1}c_{2})/24\,.\end{aligned}}}$

Die totale Todd-Klasse ${\displaystyle \mathbf {Td} _{\mathbb {C} }}$ ist dann gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {Td} _{\mathbb {C} }(E)=\sum _{i}\operatorname {Td} _{i}(c_{1},\cdots ,c_{i})}$.

Für eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ der (reellen) Dimension ${\displaystyle 2n}$ ist das Todd-Geschlecht definiert durch[8]

${\displaystyle \operatorname {Td} (X):=\langle \operatorname {Td} _{n}(TX),[X]\rangle }$.

Die durch die (formale) Potenzreihe

${\displaystyle {\hat {a}}(x)={\frac {\frac {\sqrt {x}}{2}}{\sinh \left({\frac {\sqrt {x}}{2}}\right)}}=1-{\frac {1}{24}}x+{\frac {7}{2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5}}x^{2}+\cdots }$

definierte multiplikative Folge ${\displaystyle ({\hat {A}}_{i})}$, heißt Â-Folge (gesprochen: A-Dach-Folge). Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin-Klassen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}(p_{1})&=-{\frac {p_{1}}{24}}\\{\hat {A}}_{2}(p_{1},p_{2})&={\frac {1}{2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})\\{\hat {A}}_{3}(p_{1},p_{2},p_{3})&={\frac {1}{2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}}(16p_{3}-44p_{2}p_{1}+31p_{1}^{3})\,.\end{aligned}}}$

Die Â-Klasse ${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} }$ ist dann definiert durch

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} (E)=\sum _{i}{\hat {A}}_{i}(p_{1},\cdots ,p_{i})}$.

Die Â-Klasse ist das reelle Analogon der Todd-Klasse. Für jedes orientierte reelle Vektorbündel ${\displaystyle E}$ gilt nämlich ${\displaystyle \mathbf {Td} _{\mathbb {C} }(E)=\mathbf {\hat {A}} (E)^{2}}$. Das Â-Geschlecht ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ist genauso wie zuvor das Todd-Geschlecht definiert als die Â-Klasse gepaart mit der Fundamentalklasse.[9]

Die durch die (formale) Potenzreihe

${\displaystyle L(x)={\frac {\sqrt {x}}{\tanh \left({\sqrt {x}}\right)}}=\sum _{k\geq 0}{2^{2k}B_{2k}x^{k} \over (2k)!}=1+{x \over 3}-{x^{2} \over 45}+\cdots }$,

wobei ${\displaystyle B_{2i}}$ die Bernoulli-Zahlen sind, definierte multiplikative Folge ${\displaystyle (L_{i})}$, heißt Folge der L-Polynome. Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin-Klassen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}(p_{1})&={\frac {p_{1}}{3}}\\L_{2}(p_{1},p_{2})&={\frac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})\\L_{3}(p_{1},p_{2},p_{3})&={\frac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})\\L_{4}(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})&={\frac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4})\,.\end{aligned}}}$

Für eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ der Dimension ${\displaystyle 4n}$ ist das L-Geschlecht ebenfalls gegeben durch

${\displaystyle L(X):=\langle L_{n}(TX),[X]\rangle }$.

Hirzebruch bewies mit dem Signatursatz, dass das L-Geschlecht mit der Signatur der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.[10]

Ein multiplikatives Geschlecht wird elliptisches Geschlecht genannt, falls die formale Potenzreihe ${\displaystyle Q(z)={\tfrac {z}{f(z)}}}$ die Differentialgleichung

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

mit Konstanten ${\displaystyle \delta }$ und ${\displaystyle \epsilon }$ erfüllt.

Eine explizite Darstellung von ${\displaystyle f}$ ist

${\displaystyle f(z)={\frac {{\rm {sn}}\left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{{a}^{2}}}\right)}{a}}}$,

wobei

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {{\delta }^{2}-\epsilon }}}}}$

und ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ die Jacobische elliptische Funktion ist. Also ist der Logarithmus des multiplikativen Geschlechts das elliptische Integral erster Art

${\displaystyle \log(\phi )(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}}}}$.

Dieses wurde in der ersten Definition des elliptischen Geschlechtes genutzt wurde und daher heute auch das Attribut elliptisch im Namen trägt.[11] Gilt ${\displaystyle \delta ^{2}=\epsilon }$ oder ${\displaystyle \epsilon =0}$, dann nennt man das entsprechende elliptische Geschlecht degeneriert.

Setzt man beispielsweise ${\displaystyle \delta =\epsilon =1}$ und ${\displaystyle f(z)=\tanh(z)}$, so erhält man das L-Geschlecht. Das Â-Geschlecht erhält man, wenn man ${\displaystyle \delta =-1/8,\ \epsilon =0}$ und ${\displaystyle f(z)=2\sinh(z/2)}$ setzt.[12]