Multinomialtheorem

Das Multinomialtheorem besagt, dass

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}=k \atop k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.}$

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Multinomialkoeffizienten

${\displaystyle {k \choose k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}}={\frac {k!}{k_{1}!\cdot \,\ldots \,\cdot k_{n}!}}}$,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{{k} \choose \alpha }\cdot x^{\alpha }.}$

Dabei identifiziert man ${\displaystyle x}$ mit dem Vektor ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle (x+y+z)^{3}={3 \choose 3,0,0}\,x^{3}+{3 \choose 2,1,0}\,x^{2}y+{3 \choose 2,0,1}\,x^{2}z+{3 \choose 1,2,0}\,xy^{2}+{3 \choose 1,1,1}\,xyz+{3 \choose 1,0,2}\,xz^{2}+{3 \choose 0,3,0}\,y^{3}+{3 \choose 0,2,1}\,y^{2}z+{3 \choose 0,1,2}\,yz^{2}+{3 \choose 0,0,3}\,z^{3}}$

Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man

${\displaystyle (x+y+z)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3x^{2}z+3xy^{2}+6xyz+3xz^{2}+y^{3}+3y^{2}z+3yz^{2}+z^{3}}$.

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

${\displaystyle n^{k}=(1+\cdots +1)^{k}=\sum _{|\beta |=k}{\frac {|\beta |!}{\beta$ !}}\geq {\frac {|\alpha |!}{\alpha !}}} für alle ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle |\alpha |=k}$,

also

${\displaystyle |\alpha |!\leq n^{|\alpha |}\cdot \alpha$ !} .

Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt ${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})^{k}}$ aus, so liest es sich als

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})\cdot (x_{1}+\ldots +x_{n})\cdots (x_{1}+\ldots +x_{n})}$.

Beim Ausmultiplizieren der ${\displaystyle n}$ gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe ${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})}$ genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$ mit ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\ldots k_{n}=k}$. Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$ entsteht dadurch, dass aus ${\displaystyle n}$ Klammerausdrücken ${\displaystyle k_{1}}$-mal die Zahl ${\displaystyle x_{1}}$ausgewählt wurde, ${\displaystyle k_{2}}$-mal die Zahl ${\displaystyle x_{2}}$ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade ${\displaystyle {\tbinom {k}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}}$ Möglichkeiten.

Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über ${\displaystyle n}$ unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

• Multinomialverteilung

• S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)
• Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)

• Norbert Henze: Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz In: KIT-Bibliothek Medienportal