Multiindex

In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ein Tupel natürlicher Zahlen.

Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.

Konventionen der Multiindex-Schreibweise

In diesem Abschnitt seien jeweils -Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:

wobei und einen Differentialoperator bezeichnet.

Anwendungsbeispiele

Potenzreihe

Eine Mehrfachpotenzreihe lässt sich kurz schreiben als .

Potenzfunktion

Ist und sind , so gilt und .

Geometrische Reihe

Für gilt , wobei ist.

Binomischer Lehrsatz

Sind und ist , so gilt bzw. .

Multinomialtheorem

Für und ist bzw. , was sich kurz schreiben lässt als .

Leibniz-Regel

Ist und sind m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

beziehungsweise

.

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Und sind m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist

,

wobei ist.

Cauchy-Produkt

Für Mehrfachpotenzreihen gilt .

Sind Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt , wobei ist.

Exponentialreihe

Für gilt .

Binomische Reihe

Sind und sind alle Komponenten von betragsmäßig , so gilt .

Vandermondesche Konvolution

Ist und sind , so gilt .

Ist und , so gilt .

Cauchysche Integralformel

In mehreren Veränderlichen lässt sich die cauchysche Integralformel

kurz schreiben als

,

wobei sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung , wobei ist.

Taylor-Reihe

Ist eine analytische Funktion oder eine holomorphe Abbildung, so kann man mit Hilfe eines Entwicklungspunktes oder in einer Taylorreihe

darstellen.

Hurwitz-Identität

Für mit und gilt .

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität .

Letztere erhält man im Fall .

Literatur

  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
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