Morse-Theorie

Sei ${\displaystyle b}$ ein nicht-ausgearteter kritischer Punkt von ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$. Dann gibt es eine Karte ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ in einer Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle b}$, so dass ${\displaystyle x_{i}(b)=0}$ für alle ${\displaystyle i}$ und

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-...-x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+...+x_{n}^{2}}$

in ganz ${\displaystyle U}$. Dabei ist α gleich dem Index von ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle b}$. Als Korollar des Morse-Lemmas folgt, dass die nichtausgearteten kritischen Punkte isoliert sind.

Eine glatte reellwertige Funktion auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine Morse-Funktion, falls sie keine ausgearteten kritischen Punkte hat. Ein grundlegendes Resultat der Morse-Theorie besagt, dass fast alle Funktionen Morse-Funktionen sind. Präzise ausgedrückt bilden sie eine dichte offene Teilmenge im Raum aller glatten Funktionen ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ in der ${\displaystyle C^{2}}$-Topologie. Man beschreibt diesen Sachverhalt auch mit Eine typische Funktion ist eine Morse-Funktion oder Eine generische Funktion ist Morse-Funktion.

Wie gesagt ist man an der Frage interessiert, wie sich die Topologie von ${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$ ändert, wenn ${\displaystyle a}$ variiert. Dies wird teilweise durch folgenden Satz beantwortet:

Satz

Es sei ${\displaystyle f}$ sei eine glatte reellwertige Funktion auf ${\displaystyle M}$, es sei ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$ sei kompakt. Wenn es zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ keine kritischen Werte gibt, dann ist ${\displaystyle M^{a}}$ diffeomorph zu ${\displaystyle M^{b}}$, und ${\displaystyle M^{b}}$ ist ein Deformationsretrakt auf ${\displaystyle M^{a}}$.

Weiter interessiert, wie sich die Topologie von ${\displaystyle M^{a}}$ ändert, wenn ${\displaystyle a}$ einen kritischen Wert passiert. Dazu gilt folgender Satz:

Satz

Es sei ${\displaystyle f}$ sei eine glatte reellwertige Funktion auf ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle p}$ sei ein nichtausgearteter kritischer Punkt von ${\displaystyle f}$ mit Index ${\displaystyle \gamma }$. Weiter sei ${\displaystyle f(p)=q}$ und ${\displaystyle f^{-1}[q-\epsilon ,q+\epsilon ]}$ sei kompakt und enthalte keine kritischen Punkte außer ${\displaystyle p}$. Dann ist für genügend kleine ${\displaystyle \epsilon }$ die Menge ${\displaystyle M^{q+\epsilon }}$ homotopieäquivalent zu ${\displaystyle M^{q-\epsilon }}$ mit einer angehängten ${\displaystyle \gamma }$-Zelle.

Diese Resultate verallgemeinern und präzisieren die (in der dortigen Form inkorrekte) Regel aus dem vorherigen Abschnitt.

Mit den zwei vorherigen Resultaten und der Tatsache, dass auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Morse-Funktion existiert, kann man zeigen, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit ein CW-Komplex ist, mit einer ${\displaystyle n}$-Zelle für jeden kritischen Punkt mit Index ${\displaystyle n}$. Dazu muss man zeigen, dass man die kritischen Punkte so anordnen kann, dass auf jeder kritischen Höhe nur ein kritischer Punkt ist.

Die Morse-Theorie kann dazu benutzt werden, die Homologie einer Mannigfaltigkeit stark einschränkende Sätze zu beweisen. Die Zahl der kritischen Punkte mit Index ${\displaystyle \gamma }$ von ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ ist gleich der Zahl der ${\displaystyle \gamma }$-Zellen in der CW Struktur von ${\displaystyle M}$, die man durch „Erklettern“ von ${\displaystyle f}$ erhält. Da die alternierende Summe der Ränge der Homologiegruppen eines topologischen Raumes gleich der alternierenden Summe des Ranges der Kettenkomplexgruppen ist, mit denen die Homologie berechnet wird, sieht man, dass die Euler-Charakteristik gleich der Summe

${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,}$

ist, wobei ${\displaystyle C^{\gamma }}$ die Zahl der kritischen Punkte mit Index ${\displaystyle \gamma }$ ist. Aus der Homologietheorie ist weiter bekannt, dass der Rang der ${\displaystyle n}$-ten Homologiegruppe eines CW-Komplexes ${\displaystyle M}$ kleiner oder gleich der Anzahl der ${\displaystyle n}$-Zellen in ${\displaystyle M}$ ist. Der Rang der ${\displaystyle \gamma }$^ten Homologiegruppe ist also kleiner oder gleich der Anzahl der kritischen Punkte vom Index ${\displaystyle \gamma }$ einer Morse-Funktion auf ${\displaystyle M}$. Das lässt sich in den Morseungleichungen präzisieren:

${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}+-\cdots \pm C^{0}\geq {\rm {Rank}}[H_{\gamma }(M)]-{\rm {Rank}}[H_{\gamma -1}(M)]+-\cdots \pm {\rm {Rank}}[H_{0}(M)]}$

Morse-Homologie ist durch eine generische Wahl der Morse-Funktion und der riemannschen Metrik definiert. Das grundlegende Resultat ist, dass diese Homologie unabhängig von dieser Wahl ist, also eine Invariante der Mannigfaltigkeit, und isomorph zur singulären Homologie ist. Daraus folgt, dass die Morse-Zahlen und (singulären) Betti-Zahlen übereinstimmen, was einen unmittelbaren Beweis der Morse-Ungleichungen ergibt. Eine unendlich-dimensionale Variante der Morse-Homologie ist als Floer-Homologie bekannt.

Edward Witten entwickelte 1982 einen weiteren Zugang zur Morse-Theorie mit harmonischen Funktionen und Supersymmetrie.

Der Begriff der Morse-Funktion kann auf Funktionen mit nicht-ausgearteten kritischen Mannigfaltigkeiten erweitert werden, das heißt, der Kern der Hessematrix am kritischen Punkt ist gleich dem Tangentialraum der kritischen Untermannigfaltigkeit. Falls diese Punkte sind, ergibt sich wieder der klassische Fall der Morse-Funktion. Der Index wird am natürlichsten als Paar

${\displaystyle (i_{-},i_{+}),}$

definiert, wobei ${\displaystyle i_{-}}$ die Dimension der instabilen Mannigfaltigkeit an einem gegebenen Punkt der kritischen Mannigfaltigkeit ist, und ${\displaystyle i_{+}}$ gleich ${\displaystyle i_{-}}$ plus der Dimension der kritischen Mannigfaltigkeit ist. Bei kleiner Störung der Morse-Bott-Funktion liegen die Indices der neuen Funktion zwischen ${\displaystyle i_{-}}$ und ${\displaystyle i_{+}}$ auf der ungestörten kritischen Mannigfaltigkeit.

Morse-Bott-Funktionen sind nützlich, da man mit typischen (generischen) Morse-Funktionen schwer arbeiten kann. Die visualisierbaren und gut berechenbaren Funktionen haben typischerweise Symmetrien und führen oft zu kritischen Mannigfaltigkeiten positiver Dimension. Raoul Bott benutzte die Morse-Theorie in dem ursprünglichen Beweis seines Periodizitätssatzes.

Auch die Morse-Homologie kann für Morse-Bott-Funktionen definiert werden. Das Differential in dieser Homologie wird durch eine Spektralsequenz berechnet. Frederic Bourgeois entwickelte einen solchen Zugang im Rahmen seiner Morse-Bott-Version der symplektischen Feldtheorie, die jedoch aufgrund erheblicher analytischer Probleme nicht publiziert wurde.