Monotoner Operator

Es seien ${\displaystyle V}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle M\subset V}$ eine konvexe Teilmenge von ${\displaystyle V}$. Ein (nicht linearer) Operator ${\displaystyle F\colon M\rightarrow V^{*}}$ heißt monoton, falls für alle ${\displaystyle x,y\in M}$ die Ungleichung

${\displaystyle \langle x-y,F(x)-F(y)\rangle \geq 0}$

gilt. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle V^{*}}$ den topologischen Dualraum von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ die duale Paarung ${\displaystyle V\times V^{*}\rightarrow \mathbb {K} ,\,(x,f)\mapsto f(x)}$.[1]

Diesen Begriff kann man wörtlich auf allgemeinere Raumklassen, insbesondere auf lokalkonvexe Räume, übertragen. Weiter kann dieser Begriff auf mengenwertige Funktionen ${\displaystyle F\colon M\rightarrow {\mathcal {P}}(V^{*})}$ ausgedehnt werden. Eine solche Funktion heißt dann monoton, falls für alle ${\displaystyle x,y\in M}$ und ${\displaystyle f\in F(x),g\in F(y)}$ die Ungleichung

${\displaystyle \langle x-y,f-g\rangle \geq 0}$

gilt.[2]

Der Begriff des monotonen Operators hat viele Anwendungen in der nichtlinearen Funktionalanalysis, insbesondere bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.[3]

• Heinz H. Bauschke & Patrick L. Combettes: Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. Springer New York, New York, NY 2011, ISBN 978-1-4419-9466-0.
• R. E. Showalter: Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2014, ISBN 978-1-4704-1280-7 (englisch).

1. R. E. Showalter: Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2014, ISBN 978-1-4704-1280-7, S. 37 (englisch).
2. Regina S. Burachik, Alfredo N. Iusem: Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators, Springer-Verlag (2008), ISBN 978-0-387-69755-0
3. Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Kap 3.