Monoidale Kategorie

In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, die mit einem zweistelligen Funktor ${\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ und einem Einheitsobjekt ${\displaystyle I\in \left|{\mathcal {C}}\right|}$ ausgestattet ist.

Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C),}$

gibt; ${\displaystyle I}$ muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \rho }$ gibt, gegeben durch

${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\to A}$ und ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\to A}$.

Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen aus der Kommutativität der folgenden beiden Diagramme:

und

Aus diesen beiden Bedingungen folgt, dass jedes solche Diagramm kommutiert: Das ist Mac Lanes "Kohärenzsatz".

• Eine monoidale Kategorie kann als Bikategorie mit einem Objekt angesehen werden.
• In einer monoidalen Kategorie lässt sich der Begriff des Monoid-Objekts definieren, der den des Monoids verallgemeinert.