Monoid-Objekt

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine monoidale Kategorie mit dem Funktor ${\displaystyle {-}\otimes {-}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, dem Einheitsobjekt ${\displaystyle I\in |{\mathcal {C}}|}$, der natürlichen Transformation ${\displaystyle \alpha }$ mit den Komponenten ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)}$, sowie den natürlichen Transformationen ${\displaystyle \lambda \colon (I\otimes {-})\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle \rho \colon ({-}\otimes I)\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$ gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt ${\displaystyle M\in |{\mathcal {C}}|}$ zusammen mit zwei Pfeilen ${\displaystyle \eta \colon I\to M}$ und ${\displaystyle \mu \colon M\otimes M\to M}$, für die die Gleichungen

• ${\displaystyle \mu \circ (\mu \otimes M)=\mu \circ (M\otimes \mu )\circ \alpha _{M,M,M}\ \colon (M\otimes M)\otimes M\to M}$,
• ${\displaystyle \mu \circ (M\otimes \eta )=\rho _{M}\ \colon M\otimes I\to M}$ und
• ${\displaystyle \mu \circ (\eta \otimes M)=\lambda _{M}\ \colon I\otimes M\to M}$

gelten.

• Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
• Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
• In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}}$ mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}}$ sind Monaden.

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170 f.