Monade (Kategorientheorie)

Eine Monade ist ein Tripel ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ aus

• einem Funktor ${\displaystyle T}$ von einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in sich selbst, das heißt

  ${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

• einer natürlichen Transformation ${\displaystyle \eta \colon 1_{\mathcal {C}}\to T}$ (dabei steht ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$ für den Identitätsfunktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$)
• einer natürlichen Transformation ${\displaystyle \mu \colon T^{2}\to T}$ (dabei steht ${\displaystyle T^{2}}$ für ${\displaystyle T\circ T}$),

so dass die folgenden Bedingungen, die man auch die Axiome der Monade nennt, erfüllt sind:

• ${\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}$, das heißt das folgende Diagramm kommutiert:

• ${\displaystyle \mu \circ \eta T=\mu \circ T\eta =1}$, das heißt das folgende Diagramm kommutiert:

Explizit bedeutet die Kommutativität der Diagramme, dass für jedes Objekt ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ die beiden Diagramme

  und  

kommutieren. Dabei sind ${\displaystyle T\mu }$ und ${\displaystyle \mu T}$ die durch ${\displaystyle (T\mu )_{X}\colon =T(\mu _{X})}$ und ${\displaystyle (\mu T)_{X}:=\mu _{T(X)}}$ definierten natürlichen Transformationen, entsprechendes gilt für ${\displaystyle T\eta }$ und ${\displaystyle \eta T}$. Die natürlichen Transformationen ${\displaystyle \eta }$ und ${\displaystyle \mu }$ nennt man auch Einheit und Multiplikation der Monade.[1][2]

Ein Beispiel für eine Monade sind Listen. Es bezeichne ${\displaystyle [x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ die Liste mit den Elementen ${\displaystyle x_{1}}$ bis ${\displaystyle x_{n}}$, wobei mit ${\displaystyle n=0}$ auch die leere Liste zugelassen ist. Listen sind Tupel, die wir hier der Übersichtlichkeit wegen mit eckigen Klammen schreiben. Das folgende Tripel ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ ist eine Monade in der Kategorie der Mengen ${\displaystyle \mathbf {Set} }$:

Der Listen-Funktor

• Für ein Objekt ${\displaystyle X}$ aus ${\displaystyle \mathbf {Set} }$, das heißt für eine Menge ${\displaystyle X}$, sei ${\displaystyle T(X)=\{[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\mid n\in \mathbb {N} ,x_{1},\dotsc ,x_{n}\in X\}}$ die Menge aller endlichen Listen, deren Elemente aus ${\displaystyle X}$ kommen.
• Für eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei Mengen sei ${\displaystyle T(f)\colon T(X)\to T(Y)}$ zwischen den Listenmengen durch ${\displaystyle T(f)([x_{1},\dotsc ,x_{n}])=[f(x_{1}),\dotsc ,f(x_{n})]}$ definiert.

Einheit und Multiplikation

• Die Einheit ${\displaystyle \eta }$ sei definiert durch ${\displaystyle \eta _{X}(x)=[x]}$, das ist die Konstruktion einelementiger Listen.
• Die Multiplikation ist die Konkatenation von Listen: ${\displaystyle \mu _{X}([l_{1},\dotsc ,l_{n}])=l_{1}\dotsm l_{n}}$, also ${\displaystyle \mu _{X}([[x_{11},\dotsc ,x_{1m_{1}}],\dotsc ,[x_{n1},\dotsc ,x_{nm_{n}}]])=[x_{11},\dotsc ,x_{1m_{1}},\dotsc ,x_{n1},\dotsc ,x_{nm_{n}}]}$ – dies ist gewissermaßen das (einstufige) Zusammenfügen einer Liste von Listen zu einer Liste.

Diese Daten erfüllen die Definition der Monade.

• Die Gleichung ${\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}$ bedeutet für eine Liste von Listen von Listen ${\displaystyle l\in T(T(T(X)))}$, dass ${\displaystyle \mu _{X}(T(\mu _{X})(l))=\mu _{X}(\mu _{T(X)}(l))}$, das heißt, dass es bei mehrfach verschachtelten Listen egal ist, ob diese von innen oder von außen beginnend zu einer zusammengefügt werden. Betrachte zum Beispiel ${\displaystyle l=[[[x,y],[x]],[[x,y,z],[x,x]]]}$, wobei ${\displaystyle x,y,z\in X}$ seien. Das ist die Liste der beiden Listen von Listen ${\displaystyle [[x,y],[x]]}$ und ${\displaystyle [[x,y,z],[x,x]]}$, die ihrerseits aus den Listen ${\displaystyle [x,y]}$ und ${\displaystyle [x]}$ bzw. ${\displaystyle [x,y,z]}$ und ${\displaystyle [x,x]}$ bestehen. Dann ist

${\displaystyle \mu _{X}(T(\mu _{X})(l))=\mu _{X}([[x,y,x],[x,y,z,x,x]])=[x,y,x,x,y,z,x,x]}$ und

${\displaystyle \mu _{X}(\mu _{T(X)}(l))=\mu _{X}([[x,y],[x],[x,y,z],[x,x]])=[x,y,x,x,y,z,x,x]}$.

• Das zweite Axiom besagt in diesem Beispiel, dass jede Liste durch Zusammenfügen einelementiger Listen entsteht:

${\displaystyle \mu _{X}(\eta _{T(X)}([x_{1},\dotsc ,x_{n}]))=\mu _{X}([[x_{1},\dotsc ,x_{n}]])=[x_{1},\dotsc ,x_{n}]=\mu _{X}([[x_{1}],\dotsc ,[x_{n}]])=\mu _{X}(T(\eta _{X})([x_{1},\dotsc ,x_{n}]))}$.

In einer algebraischen Sichtweise ist ${\displaystyle T(X)}$ die unterliegende Menge des freien Monoids über ${\displaystyle X}$. Die Einheit ${\displaystyle \eta _{X}}$ bettet das Erzeugendensystem in den Monoid ein, die Multiplikation ${\displaystyle \mu _{X}}$ ist die Monoidmultiplikation.

Ist ${\displaystyle (T\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\mu )}$ eine Monade, so ist ein Paar ${\displaystyle (A,\alpha \colon T(A)\to A)}$ eine Eilenberg-Moore-Algebra (auch einfach nur Algebra genannt) für diese Monade, wenn die Gleichungen

• ${\displaystyle \alpha \circ \eta _{A}=1_{A}}$ und
• ${\displaystyle \alpha \circ \mu _{A}=\alpha \circ T(\alpha )}$

gelten, das heißt, wenn die folgenden beiden Diagramme kommutieren:

Ein Homomorphismus von ${\displaystyle (A,\alpha )}$ nach ${\displaystyle (B,\beta )}$ ist ein Pfeil ${\displaystyle h\colon A\to B}$ in ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle h\circ \alpha =\beta \circ T(h)}$, das heißt, dass nachstehendes Diagramm kommutiert:

Für beliebige Objekte ${\displaystyle X}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist daher z. B. ${\displaystyle (T(X),\mu _{X})}$ eine Algebra, und ${\displaystyle \mu _{X}}$ ist ein Homomorphismus von ${\displaystyle (T(T(X)),\mu _{T(X)})}$ nach ${\displaystyle (T(X),\mu _{X})}$. Im obigen Beispiel der Listen sind die Algebren ${\displaystyle (A,\alpha \colon TA\to A)}$ genau die Monoide ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \alpha }$ multipliziert alle Elemente der Liste.

Die Eilenberg-Moore-Algebren zur Monade ${\displaystyle T}$ bilden mit den angegebenen Homomorphismen eine Kategorie, die man die Kategorie der ${\displaystyle T}$-Algebren nennt und mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$ bezeichnet.[3] Im Falle der Listen-Monade ${\displaystyle T}$ ist also ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{T}}$ die Kategorie der Monoide.

Ist ein Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ zu einem Funktor ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ linksadjungiert, und sind

${\displaystyle \eta \colon 1_{\mathcal {C}}\to GF}$ bzw. ${\displaystyle \varepsilon \colon FG\to 1_{\mathcal {D}}}$

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion, so ist ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ mit

• ${\displaystyle T=GF\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$
• ${\displaystyle \mu =G\varepsilon F,}$ also ${\displaystyle \mu _{X}=G(\varepsilon _{F(X)})}$ für Objekte ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})}$

eine Monade.

Dies ist im gewissen Sinn auch schon das einzige Beispiel, da jede Monade auf diese Weise entsteht, jedenfalls bis auf Isomorphie: Die Tripel ${\displaystyle ({\mathcal {D}},F,G)}$ mit ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle GF=T}$ und ${\displaystyle F\dashv G}$ sind Objekte einer Kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. In dieser Kategorie ist ein Morphismus von ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1},F_{1},G_{1})}$ nach ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2},F_{2},G_{2})}$ ein Funktor ${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}}$, für den ${\displaystyle KF_{1}=F_{2}}$ und ${\displaystyle G_{2}K=G_{1}}$ gelten.

Anfangsobjekt in ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ist ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{T},F_{T},G_{T})}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}$ die Kleisli-Kategorie zu ${\displaystyle T}$ ist. ${\displaystyle F_{T}X:=X}$, für ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X,Y)}$ ist ${\displaystyle F_{T}(f):=\eta _{Y}\circ f}$. ${\displaystyle G_{T}X:=TX}$, für ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{T}(X,Y)}$ ist ${\displaystyle G_{T}(f):=\mu _{Y}\circ T(f)}$.

Endobjekt in ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ist ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{T},F^{T},G^{T})}$ wobei ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$ die Kategorie der Eilenberg-Moore-Algebren zu ${\displaystyle T}$ ist. ${\displaystyle F^{T}X:=(TX,\mu _{X})}$, für ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X,Y)}$ ist ${\displaystyle F^{T}(f):=T(f)}$. ${\displaystyle G^{T}(X,\alpha ):=X}$, ${\displaystyle G^{T}(f):=f}$.[4]

Für eine vorgegebene Adjunktion ${\displaystyle F\dashv G}$ gibt es daher eindeutig existierende Funktoren ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle K}$ wie im nachfolgenden Diagramm, so dass die oben genannten Gleichungen bestehen, das heißt ${\displaystyle JF_{T}=F}$, ${\displaystyle GJ=G_{T}}$, ${\displaystyle KF=F^{T}}$ und ${\displaystyle G^{T}K=G}$

Den Funktor ${\displaystyle K}$ nennt man auch den Vergleichsfunktor, weil der die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ mit einer Kategorie von Algebren vergleicht. Man nennt die Adjunktion ${\displaystyle F\dashv G}$ monadisch, wenn der Vergleichsfunktor eine Äquivalenz ${\displaystyle {\mathcal {D}}\simeq {\mathcal {C}}^{T}}$ ist. Man nennt einen Funktor ${\displaystyle G}$ monadisch, wenn es eine Linksadjungierte ${\displaystyle F}$ gibt, so dass die Adjunktion ${\displaystyle F\dashv G}$ monadisch ist.

Monaden werden in der Informatik, besonders in funktionalen Programmiersprachen u. a. zur Abstraktion von Nebeneffekten verwendet. Es ist Haskell hervorzuheben, wo Monaden zur Integration von Ein- und Ausgabe in die sonst komplett von Seiteneffekten freie Sprache verwendet werden. Siehe dazu auch Monade (Informatik).

1. Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971, ISBN 3-540-90035-7, Kap. VI.1 Monads in a Category, Definition auf S. 137
2. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Definition 5.1.1, S. 154.
3. Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971, ISBN 3-540-90035-7, Kap. VI.1 Algebras for a Monad, Definition auf S. 140
4. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Satz 5.2.12, S. 164.

• Lektion zu Monaden
• You Could Have Invented Monads! (And Maybe You Already Have.)
• Mehrteiliger Videokurs für Mathematiker (englisch)