Momentenproblem

Beim Hamburgerschen Momentenproblem werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf ${\displaystyle I=\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ betrachtet. Eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle c_{k}=\int _{\mathbb {R} }x^{k}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

existiert genau dann, wenn ${\displaystyle c_{0}=1}$ und für beliebige ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ die Beziehung

${\displaystyle \sum _{j,k=0}^{n}c_{j+k}x_{j}x_{k}\geq 0}$

gilt.[2] Dabei ist im Allgemeinen die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ nicht eindeutig bestimmt.[2] Eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit von ${\displaystyle F}$ ist die Bedingung von Carleman

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{2n}]{c_{2n}}}}=\infty \;.}$[2]

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt.[6] Die Verteilungsfunktion einer Lognormalverteilung ist nicht eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.[7][8]

Beim Stieltjesschen Momentenproblem ist ${\displaystyle I=[0,\infty )}$ und beim Hausdorffschen Momentenproblem ein beschränktes Intervall o. B. d. A. ${\displaystyle I=[0,1]}$.

Eine weitere Variante ist das trigonometrische Momentenproblem, bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.[9] Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (d_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ komplexer Zahlen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Verteilungsfunktion auf dem Intervall ${\displaystyle [0,2\pi )}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle d_{k}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

und ist diese Verteilungsfunktion eindeutig?

Die Antwort gibt ein Satz von Gustav Herglotz, der besagt, dass eine Verteilungsfunktion mit diesen Eigenschaften genau dann existiert, wenn ${\displaystyle d_{0}=1}$ und für beliebige ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \xi _{0},\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\in \mathbb {C} }$ die Beziehung

${\displaystyle \sum _{j,k=0}^{n}d_{j+k}\xi _{j}\xi _{k}\geq 0}$

gilt.[2] In diesem Fall ist ${\displaystyle F}$ eindeutig bestimmt.[2]

Eine Variante der Fragestellung ergibt sich, wenn nur endlich viele Konstanten ${\displaystyle d_{0},d_{1},\dots ,d_{n}}$ gegeben sind und eine Verteilungsfunktion mit der Eigenschaft

${\displaystyle d_{k}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\mathrm {d} F(x),\quad k=1,\dots ,n}$

gesucht ist. Dieses Problem heißt gestutztes Moementenproblem (engl. truncated moment problem).[10]

Beispiel: Bei gegebenem Mittelwert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ (sowie alle weiteren Kumulanten gleich 0) ist die Normalverteilung die passende Verteilung zu den Momenten.