Modus (Statistik)

Gegeben sei die Stichprobe

${\displaystyle ({\text{Zebra}},{\text{Elefant}},{\text{Giraffe}},{\text{Zebra}},{\text{Giraffe}},{\text{Antilope}})}$

Es treten die Merkmalsausprägungen ${\displaystyle {\text{Zebra}},{\text{Elefant}},{\text{Giraffe}}}$ und ${\displaystyle {\text{Antilope}}}$ auf. Dabei tritt ${\displaystyle {\text{Antilope}}}$ einmal auf, ebenso ${\displaystyle {\text{Elefant}}}$. Sowohl ${\displaystyle {\text{Zebra}}}$ als auch ${\displaystyle {\text{Giraffe}}}$ treten zweimal auf. Des Weiteren gibt es kein Merkmal, das dreimal oder öfter auftritt. Also ergeben sich als Modi

${\displaystyle D_{1}={\text{Zebra}}}$

und

${\displaystyle D_{2}={\text{Giraffe}}}$.

Bei einer Klassenarbeit wurden die Noten

${\displaystyle ({\text{befriedigend}},\;{\text{sehr gut}},\;{\text{befriedigend}},\;{\text{gut}},\;{\text{gut}},\;{\text{ausreichend}},\;{\text{mangelhaft}},\;{\text{ungenuegend}},\;{\text{gut}})}$

vergeben. Die Noten ${\displaystyle {\text{sehr gut}},\;{\text{ausreichend}},\;{\text{mangelhaft}}}$ und ${\displaystyle {\text{ungenuegend}}}$ wurden je einmal vergeben, die Note ${\displaystyle {\text{befriedigend}}}$ zweimal und die Note ${\displaystyle {\text{gut}}}$ dreimal. Keine Note wurde mindestens viermal vergeben, also ist der Modus

${\displaystyle D={\text{gut}}}$.

Betrachtet man die Stichprobe

${\displaystyle (1,1,1,2,10,11,12,67,72)}$,

so kommen alle Werte bis auf die ${\displaystyle 1}$ nur je einmal vor, die ${\displaystyle 1}$ jedoch dreimal. Also ist der Modus

${\displaystyle D=1}$.

Liegen die Daten klassiert vor, dann gibt es zwei Möglichkeiten den Modus zu bestimmen.

1. Grobberechnung:
   • Bestimmung der Modalklasse ${\displaystyle M}$ anhand Häufigkeitsdichten ${\displaystyle f_{i}}$ (Häufigkeitsdichte = Relative Häufigkeit / Klassenbreite)
   • Klassenmitte der Modalklasse
2. Feinberechnung:
   • Bestimmung der Modalklasse ${\displaystyle M}$ anhand Häufigkeitsdichten ${\displaystyle f_{i}}$
   • ${\displaystyle D=x_{M}^{u}+{\frac {f_{M}-f_{M-1}}{2\,f_{M}-f_{M-1}-f_{M+1}}}(x_{M}^{o}-x_{M}^{u})}$
     mit ${\displaystyle x_{M}^{u}}$ als untere und ${\displaystyle x_{M}^{o}}$ als obere Klassengrenze der Modalklasse. Fällt die Modalklasse auf die erste oder letzte Klasse, dann werden ${\displaystyle f_{M-1}}$ bzw. ${\displaystyle f_{M+1}}$ gleich Null gesetzt.

Die Modalklasse ist die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte, also 30–37. Die Grobberechnung ergibt dann ${\displaystyle D=33{,}5}$, die Feinberechnung ${\displaystyle D=30+{\tfrac {0{,}048-0{,}034}{2\cdot 0{,}048-0{,}034-0{,}012}}\cdot (37-30)=31{,}96}$.