Modulform

Es sei

${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} (z)>0\}}

die obere Halbebene, d. h. die Menge aller komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil.

Für eine ganze Zahl ${\displaystyle k}$ heißt eine holomorphe bzw. meromorphe Funktion ${\displaystyle f}$ auf der oberen Halbebene eine holomorphe bzw. meromorphe elliptische Modulform vom Gewicht ${\displaystyle k}$ zur Gruppe ${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ (volle Modulgruppe), wenn sie

• die Funktionalgleichung

${\displaystyle f\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ und ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle ad-bc=1}$

erfüllt und

• „holomorph bzw. meromorph im Unendlichen“ ist. Das bedeutet, dass die Funktion

${\displaystyle {\tilde {f}}(q)=f(z)}$ mit ${\displaystyle q=e^{2\pi \mathrm {i} \,z}}$

(die Fourier- oder q-Entwicklung von f) holomorph bzw. meromorph an der Stelle ${\displaystyle q=0}$ ist.

Ist ${\displaystyle f(z)}$ meromorph und ${\displaystyle k=0}$, so nennt man ${\displaystyle f}$ eine Modulfunktion. Modulfunktionen haben ein besonders einfaches Verhalten unter der Modulgruppe:

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$

Holomorphe Modulfunktionen sind uninteressant, da aufgrund des Satzes von Liouville die einzigen holomorphen Modulfunktionen die konstanten Funktionen sind. Man nennt die holomorphen Modulformen auch ganze Modulformen. Verschwindet eine solche ganze Modulform darüber hinaus im Unendlichen ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)\to \infty }$ (in der Spitze, englisch cusp, ${\displaystyle q=0}$), so nennt man sie Spitzenform. Genauer verschwindet eine Spitzenform vom Gewicht ${\displaystyle k}$ für ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)\to \infty }$ wie ${\displaystyle (\mathrm {Im} (z))^{-k}}$. Die j-Funktion ist dagegen eine in der oberen Halbebene holomorphe Modulfunktion bis auf einen einfachen Pol in der Spitze, also ein Beispiel für Meromorphie. Aus der Definition folgt, dass eine Modulform für ungerades ${\displaystyle k}$ identisch verschwindet.

Die in der Definition der Modulform verwendeten speziellen Möbiustransformationen bilden die Modulgruppe[3]

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}.}$

Fundamentalbereich der Modulgruppe

Die Modulgruppe wird auch mit ${\displaystyle \Gamma }$ bezeichnet. Die Modulformen sind durch ihr einfaches Transformationsverhalten gegenüber der Modulgruppe gekennzeichnet. Die Modulgruppe bildet die obere Halbebene ${\displaystyle \mathbf {H} }$ auf sich ab und wird durch die Matrizen

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

erzeugt. Diese Matrizen beschreiben geometrisch eine Spiegelung an einem Kreis (Inversion) und eine Translation.

Das Verhalten der Modulform vom Gewicht ${\displaystyle k}$ unter diesen Erzeugenden ist

${\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

und aus letzterer Gleichung ergibt sich, dass die Modulform periodisch ist. Daher ist die Fourierentwicklung ${\displaystyle {\tilde {f}}(q)}$ für ${\displaystyle 0<|q|<1}$ wohldefiniert und holomorph bzw. meromorph. Mit den Fourierkoeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ hat man die Fourierreihe (auch q-Entwicklung genannt)

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}}$,

wobei ${\displaystyle m}$ die Ordnung des Pols von ${\displaystyle f}$ in der Spitze ${\displaystyle q=0}$ genannt wird (Imaginärteil von ${\displaystyle z}$ gegen Unendlich). Die Modulform ist bei negativen Fouriergliedern meromorph in der Spitze. Bei einer Spitzenform verschwindet ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle q=0}$ (${\displaystyle a_{0}=0}$), das heißt, die nichtverschwindenden Fourierkoeffizienten beginnen bei einem positiven ${\displaystyle n}$, das dann Ordnung der Nullstelle von ${\displaystyle f}$ in der Spitze genannt wird.

In der komplexen Ebene ist eine Modulform durch ihre Werte im Fundamentalbereich ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ definiert, der in der nebenstehenden Abbildung grau gefärbt ist. Er ist ein Dreieck mit einer Spitze im Unendlichen. Jedes der durch Geraden oder Kreise begrenzten fundamentalen Dreiecke entsteht durch Anwendung von Operationen der Modulgruppe auf den Fundamentalbereich. Die Anwendung der Modulgruppe lässt sich beliebig fortsetzen und ergibt eine immer feinere Einteilung, die aber in der Abbildung an einem bestimmten Punkt abgebrochen wurde.

Die Abbildung stellt die berühmte Modulfigur dar, die zum Beispiel von M. C. Escher in mehreren Graphiken künstlerisch dargestellt wurde.

Die einfachsten Beispiele für ganze Modulformen vom Gewicht ${\displaystyle k}$ sind die sogenannten Eisensteinreihen ${\displaystyle G_{k}}$, für eine Modulfunktion die j-Funktion oder absolute Invariante und für eine Spitzenform die Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$.

Die Modulgruppe hat die wichtige Eigenschaft, dass sie Gitter in der komplexen Ebene auf sich abbildet. Diese Gitter werden von zwei komplexen Zahlen ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ mit ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\not \in \mathbb {R} }$ aufgespannt:

${\displaystyle \Lambda$ :=\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}}

Sie lassen sich als Parallelogramme in der komplexen Zahlenebene darstellen. Eine andere Basis des Gitters, gegeben durch zwei komplexe Zahlen ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$, spannt genau dann dasselbe Gitter auf, wenn die beiden Basen durch ein Element der Modulgruppe ineinander transformiert werden (das folgt aus der Bedingung, dass die Determinante gleich 1 ist und aus der Ganzzahligkeit):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

Setzt man ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}}$, ergibt sich die oben angegebene Transformationsformel ${\displaystyle \tau \to {\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$ über eine Möbiustransformation.

Eisensteinreihen sind auf natürliche Weise auf diesen Gittern definiert:

${\displaystyle E_{k}(\Lambda )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{k}}}}$

Oder mit ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}}$ (also einem ${\displaystyle \tau }$ aus der oberen Halbebene):

${\displaystyle E_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}}$

Da das Gitter invariant unter der Modulgruppe ist, gilt dies auch für die Eisensteinreihen. Sie sind ganze Modulformen vom Gewicht ${\displaystyle k}$, wobei ${\displaystyle k}$ gerade ist (sonst würde die Modulform identisch verschwinden, da über alle Gitterpunkte ${\displaystyle \lambda }$ summiert wird, worunter sich auch ${\displaystyle -\lambda }$ befindet). Damit die Reihen konvergieren, muss auch ${\displaystyle k}$ größer als 2 sein.

Unter den Erzeugenden der Modulgruppe transformiert die Eisensteinreihe:

${\displaystyle E_{k}(-1/\tau )=\tau ^{k}E_{k}(\tau )}$

${\displaystyle E_{k}(\tau +1)=E_{k}(\tau )}$

Der Zusammenhang mit Gittern ergibt auch eine Verbindung von Modulformen zu elliptischen Funktionen, die als doppeltperiodische, meromorphe Funktionen auf einem solchen Gitter definiert sind (werden die Seiten des Gitters miteinander identifiziert, ergibt sich ein Torus mit topologischem Geschlecht ${\displaystyle g=1}$, die Riemannsche Fläche der elliptischen Funktionen). Am einfachsten wird das durch Betrachtung der Weierstraßschen ℘-Funktion deutlich. Meromorphe Modulformen vom Gewicht 0 sind auf den Isomorphieklassen der den elliptischen Funktionen zugrundeliegenden Gittern definiert. Die j-Invariante einer elliptischen Funktion kennzeichnet diese Isomorphieklassen, die damit von dieser Funktion der oberen Halbebene eindeutig parametrisiert werden. Sie ist eine Modulform vom Gewicht 0 und lässt sich als rationale Funktion aus Eisensteinreihen vom Gewicht 4 und 6 bilden, mit der modularen Diskriminante im Nenner, einer Modulfunktion vom Gewicht 12 (sie steht wiederum mit der Dedekindschen η-Funktion in Verbindung). Die j-Funktion hat viele interessante Eigenschaften, die sie wichtig für die Zahlentheorie (Konstruktion algebraischer Zahlkörper) und Gruppentheorie (die Fourierkoeffizienten ihrer q-Entwicklung stehen mit der Darstellung der Monstergruppe in Verbindung, moonshine) machen.

Der Zusammenhang von Modulformen und elliptischen Kurven setzt sich auch bei über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven fort, wo der oben erwähnte Modularitätssatz gilt, dass alle über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven sich durch Modulformen parametrisieren lassen (aus diesem Satz folgt die Fermatvermutung nach Andrew Wiles und anderen).

Ein weiteres Beispiel für Modulformen liefern Thetafunktionen, die auf Gittern definiert sind.[4]

Beispielsweise liefert die Thetafunktion zu einem geraden, unimodularen Gitter ${\displaystyle L}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}q^{\frac {\lambda \cdot \lambda }{2}}=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

eine Modulform vom Gewicht ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$. Zum Beweis wird für das Verhalten unter Inversion die Poissonsche Summenformel benutzt. „Unimodular“ bedeutet, dass die Gitterdiskriminante gleich 1 ist und „gerade“, dass die Quadrate der Längen der Vektoren des Gitters ${\displaystyle \lambda \cdot \lambda }$ alle gerade sind. Beispiele solcher Gitter (deren Dimension ${\displaystyle n}$ durch 8 teilbar sein muss) sind das Leech-Gitter (${\displaystyle n=24}$, als eines von 24 Niemeier-Gittern) und das Gitter des Wurzelsystems der speziellen Liegruppe ${\displaystyle E_{8}}$ (${\displaystyle n=8}$). Im Fall ${\displaystyle n=8}$ ist sie also eine Modulform vom Gewicht 4, davon gibt es aber nur eine, die Eisenstein-Reihe vom Gewicht 4.

Für ungerades ${\displaystyle k}$ ist stets ${\displaystyle f=0}$, die folgenden Aussagen gelten daher für gerades ${\displaystyle k}$.

Summen und Produkte von Modulformen sind wieder Modulformen. Die Modulformen vom Gewicht ${\displaystyle k}$ bilden einen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum, ebenso die ganzen Modulformen und auch die Spitzenformen.

Bezeichnet man diese Vektorräume mit ${\displaystyle \mathbb {V} _{k},\mathbb {M} _{k}}$ und ${\displaystyle \mathbb {S} _{k}}$, so gilt:

${\displaystyle \mathbb {S} _{k}\subset \mathbb {M} _{k}\subset \mathbb {V} _{k}}$

Für die Dimension dieser Vektorräume gilt (${\displaystyle k}$ sei eine positive gerade ganze Zahl):

${\displaystyle \mathrm {dim} \,\mathbb {M} _{k}={\begin{cases}\left[{\frac {k}{12}}\right],&{\mbox{falls}}\;k\equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12)\\\left[{\frac {k}{12}}\right]+1,&{\mbox{falls}}\;k\not \equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12)\end{cases}}}$

${\displaystyle \mathrm {dim} \,\mathbb {S} _{k}={\begin{cases}\left[{\frac {k}{12}}\right]-1,&{\mbox{falls}}\;k\equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12)\\\left[{\frac {k}{12}}\right],&{\mbox{falls}}\;k\not \equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12)\end{cases}}}$

Da durch die Multiplikation mit der Spitzenform ${\displaystyle \Delta }$ (Diskriminante) vom Gewicht 12 ein Isomorphismus von ${\displaystyle \mathbb {M} _{k-12}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {S} _{k}}$ gegeben ist, gilt

${\displaystyle \mathrm {dim} \,\mathbb {S} _{k}=\mathrm {dim} \,\mathbb {M} _{k-12},\quad \mathrm {falls} \quad k\geq 12.}$

Die Modulräume ${\displaystyle \mathbb {M} _{k}}$ für ${\displaystyle k=0,4,6,8,10,14}$ sind eindimensional und werden erzeugt von den ${\displaystyle 1,E_{4},E_{6},E_{4}^{2},E_{4}\cdot E_{6},E_{4}^{2}\cdot E_{6}}$ und für ${\displaystyle k=12}$ zweidimensional, erzeugt von ${\displaystyle (E_{4}^{3},E_{6}^{2})}$ mit den Eisensteinreihen ${\displaystyle E_{4},E_{6}}$. Allgemein kann man zeigen, dass alle Elemente von ${\displaystyle \mathbb {M} _{k}}$ durch Polynome in ${\displaystyle E_{4},E_{6}}$ erzeugt werden:[5]

${\displaystyle f(z)=\sum _{a,b\in \mathbb {N} \atop 4a+6b=k}\alpha _{a\,,\,b}E_{4}^{a}(z)\cdot E_{6}^{b}(z)}$

mit Konstanten ${\displaystyle \alpha _{a,b}}$. Es ist aber häufig nützlicher, Basen von Eigenformen der Hecke-Operatoren zu verwenden (Atkin-Lehner-Theorie).

Hans Petersson führte das Petersson-Skalarprodukt im Raum der Spitzenformen ein und machte diese damit zu einem Hilbertraum. Man kann mit dem Satz von Riemann-Roch Aussagen über die Dimension der Vektorräume der Spitzenformen machen. Eisensteinreihen sind bezüglich des Petersson-Skalarprodukts orthogonal zu den Spitzenformen.[6]

Ein Grund für die Nützlichkeit von Modulformen in unterschiedlichsten Anwendung ist, dass sie zwar häufig unterschiedliche Beschreibungen in den verschiedensten Anwendungen haben, man aber sofort Verbindungen unter den Modulformen findet, da die Vektorräume von relativ kleiner Dimension sind.[7]