Mittelbare Wirkung

Sei ${\displaystyle (S,\mu )}$ eine regulärer ${\displaystyle G}$-Raum. Man sagt, dass die Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle S}$ mittelbar ist, wenn es einen stetigen, ${\displaystyle G}$-äquivarianten Operator

${\displaystyle P\colon L^{\infty }(G\times S,\mathbb {R} )\to L^{\infty }(S,\mathbb {R} )}$

gibt mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle \Vert P\Vert =1}$,
• ${\displaystyle P(\chi _{G\times S})=\chi _{S}}$,
• ${\displaystyle P(f\cdot \chi _{G\times A})=P(f)\cdot \chi _{A}}$ für alle ${\displaystyle f\in L^{\infty }(G\times S)}$ und alle messbaren Mengen ${\displaystyle A\subset S}$.

• Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist genau dann mittelbar, wenn jeder reguläre G-Raum eine mittelbare Wirkung ist.
• Eine abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle Q\subset G}$ ist genau dann mittelbar, wenn die Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle G/Q}$ mittelbar ist.
• Die Wirkung einer Lie-Gruppe auf ihrem Furstenberg-Rand ist mittelbar.

• N. Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups, Lecture Notes in Mathematics 1758, Springer-Verlag, Berlin 2001.