Mittelbare Gruppe

Es sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe. Auf ${\displaystyle G}$ gibt es bekanntlich ein Haarsches Maß ${\displaystyle \mu }$. Unter ${\displaystyle L^{\infty }(G)}$ versteht man den ${\displaystyle L^{\infty }}$-Raum des Maßraums ${\displaystyle (G,\mu )}$, d. h. den Vektorraum der beschränkten messbaren Funktionen, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden.

Für eine auf ${\displaystyle G}$ definierte Funktion ${\displaystyle f:G\rightarrow X}$ und ein Element ${\displaystyle s\in G}$ sei ${\displaystyle f_{s}:G\rightarrow X}$ durch ${\displaystyle f_{s}(t):=f(s^{-1}t)}$ definiert.

Ein stetiges lineares Funktional ${\displaystyle m:L^{\infty }(G)\rightarrow \mathbb {C} }$ heißt ein Mittel auf ${\displaystyle G}$, falls gilt

• ${\displaystyle m(1)=1}$, wobei die 1 auf der linken Seite für die konstante Einsfunktion steht,
• ${\displaystyle m(f)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}$ mit ${\displaystyle f\geq 0}$ (d. h. ${\displaystyle f(t)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle t\in G}$),
• ${\displaystyle m(f_{s})\,=\,m(f)}$ für alle ${\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}$ und ${\displaystyle s\in G}$.[1]

Die ersten beiden Eigenschaften besagen gerade, dass ${\displaystyle m}$ ein Zustand ist. Die dritte Eigenschaft nennt man auch Linksinvarianz.

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt mittelbar, falls es ein Mittel auf ${\displaystyle G}$ gibt.

• Kompakte Gruppen sind mittelbar, das auf 1 normierte Haarsche Maß ist ein Mittel.
• Kommutative lokalkompakte Gruppen sind mittelbar. Ein Mittel kann man im nicht-kompakten Fall nicht direkt angeben, der Beweis erfordert einen nicht-konstruktiven Fixpunktsatz.[2]
• Lokalkompakte auflösbare Gruppen sind mittelbar.
• Die von zwei Elementen frei erzeugte Gruppe ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ist das prototypische Beispiel einer nicht-mittelbaren Gruppe.[3]
• Eine Gruppe mit Eigenschaft T ist genau dann mittelbar, wenn sie kompakt ist.
• Eine hyperbolische Gruppe ist genau dann mittelbar, wenn sie elementar hyperbolisch, d. h. endlich oder virtuell ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist.

• Abgeschlossene Untergruppen mittelbarer Gruppen sind wieder mittelbar.
• Ist ${\displaystyle H\subset G}$ ein abgeschlossener Normalteiler einer mittelbaren Gruppe ${\displaystyle G}$, so ist auch die Faktorgruppe ${\displaystyle G/H}$ mittelbar.
• Es sei ${\displaystyle H\subset G}$ ein abgeschlossener Normalteiler einer lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle G/H}$ seien mittelbar, dann ist auch ${\displaystyle G}$ mittelbar.

Die Darstellungstheorie lokalkompakter Gruppen mittels C*-Algebren ist für mittelbare Gruppen zugänglicher. Bezeichnet ${\displaystyle C^{*}(G)}$ die Gruppen-C*-Algebra, ${\displaystyle C_{r}^{*}(G)}$ die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und ${\displaystyle \lambda :C^{*}(G)\rightarrow C_{r}^{*}(G)}$ die linksreguläre Darstellung, so sind nach einem Satz von Andrzej Hulanicki folgende Aussagen über eine lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle G}$ äquivalent[4][5]:

• ${\displaystyle G}$ ist mittelbar.
• Die linksreguläre Darstellung ${\displaystyle \lambda :C^{*}(G)\rightarrow C_{r}^{*}(G)}$ ist ein Isomorphismus.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes besagt, dass das verschränkte Produkt einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe mit der reduzierten Version des verschränkten Produktes zusammenfällt.[6]

Gruppen-C*-Algebren mittelbarer Gruppen sind nuklear, für diskrete Gruppen gilt die Umkehrung.[7]

Invariante Maße sind durch John von Neumann[8] eingeführt worden. Eine leicht zugängliche Einführung in die Theorie der mittelbaren Gruppen ist das Buch von Fredrick Greenleaf[9], dort finden sich auch vollständige Beweise obiger Permanenzeigenschaften. Die sogenannte Von-Neumann-Vermutung, nach der jede nicht-mittelbare Gruppe eine zu ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ isomorphe Untergruppe enthält, ist 1980 von Alexander Olschanski widerlegt worden.[10]

• Mittelbare Wirkung

• A. Paterson: Amenability. Mathematical Surveys and Monographs, 29. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988. ISBN 0-8218-1529-6

• Juschenko: Lecture Notes on "Amenability"
• Ozawa: Amenable actions and applications

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= LMS Monographs. Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, 7.3.3.
2. Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Korollar VII.2.2.
3. Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Beispiel VII.2.4.
4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= LMS Monographs. Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.3.9.
5. Andrzej Hulanicki: Means and Følner conditions on locally compact groups. In: Studia Mathematica. Bd. 27, Nr. 2, 1966, S. 87–104, online.
6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= LMS Monographs. Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.7.7.
7. Christopher Lance: On Nuclear C*-Algebras. In: Journal of Functional Analysis. Bd. 12, Nr. 2, 1973, S. 157–176, doi:10.1016/0022-1236(73)90021-9, Theorem 4.2.
8. John von Neumann: Zur allgemeinen Theorie des Masses. In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 13, 1929, S. 73–116, online; Zusatz zur Arbeit „Zur allgemeinen Theorie des Masses“. Bd. 13, 1929, S. 333, online.
9. Fredrick P. Greenleaf: Invariant Means on Topological Groups and their Applications (= Van Nostrand Mathematical Studies. Bd. 16, ZDB-ID 793375-7). Van Nostrand Reinhold, New York u. a. 1969, ISBN 0-442-02857-1.
10. Александр Ю. Ольшанский: К Вопросу о Существовании инвариантного Среднего на Группе. In: Успехи Математических Наук. Bd. 35, Nr. 4 = 214, 1980, ISSN 0042-1316, S. 199–200, online, (Über Fragen zur Existenz invarianter Mittel auf einer Gruppe.).