S-Dualität (Homotopietheorie)

Es seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle A^{*}}$ zwei Spektra. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle A\wedge A^{*}}$ ihr Smash-Produkt und mit ${\displaystyle \mathbf {S} }$ das Sphärenspektrum.

Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle A^{*}}$ ist ein Morphismus von Spektren

${\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}}$

so dass für jedes Spektrum ${\displaystyle E}$ die durch

${\displaystyle u_{E}(\phi ):=(\phi \wedge id_{A^{*}})u}$

${\displaystyle u^{E}(\phi ):=(id_{A}\wedge \phi )u}$

definierten Abbildungen

${\displaystyle u_{E}\colon \left[A,E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge A^{*}\right]}$

${\displaystyle u^{E}\colon \left[A^{*},E\right]\to \left[\mathbf {S} ,A\wedge E\right]}$

Bijektionen sind.

Die Spektren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle A^{*}}$ heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus ${\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}}$ gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.

Zwei Spektren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ heißen ${\displaystyle n}$-dual für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \Sigma ^{n}B}$ S-dual sind. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Sigma ^{n}B}$ das durch ${\displaystyle (\Sigma ^{n}B)_{k}=B_{k+n}}$ definierte Spektrum.

Seien ${\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}}$ und ${\displaystyle v\colon \mathbf {S} \to B\wedge B^{*}}$ zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus

${\displaystyle f\colon A\to B}$

sein S-dualer Morphismus

${\displaystyle f^{*}\colon B^{*}\to A^{*}}$

definiert als das Bild von ${\displaystyle f}$ unter dem Isomorphismus

${\displaystyle (v^{A^{*}})^{-1}u_{B}\colon \left[A,B\right]\to \left[\mathbf {S} ,B\wedge A^{*}\right]\to \left[B^{*},A^{*}\right]}$.

(${\displaystyle f^{*}}$ ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)

Insbesondere ist ${\displaystyle f\in \left[A,B\right]}$ genau dann S-dual zu ${\displaystyle g\in \left[B^{*},A^{*}\right]}$, wenn ${\displaystyle u_{B}(f)=v_{A^{*}}(g)}$.

• Die kanonische Äquivalenz ${\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to \Sigma ^{n}\mathbf {S} \wedge \Sigma ^{-n}\mathbf {S} }$ ist eine S-Dualität.
• Für eine geschlossene ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit Einhängungsspektrum ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }M}$ wird die Milnor-Spanier S-Dualität

${\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to Th(\nu _{M})\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}}$

definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung ${\displaystyle M\subset S^{N}}$ für ein ${\displaystyle N\gg n}$ und eine Tubenumgebung ${\displaystyle M\subset U\subset S^{N}}$ mit Projektion ${\displaystyle p\colon {\overline {U}}\to M}$. Dann ist ${\displaystyle Th(\nu _{M})\simeq {\overline {U}}/\partial {\overline {U}}}$ und wir betrachten die Komposition

${\displaystyle f\colon S^{N}\to {\overline {U}}/\partial {\overline {U}}\to {\overline {U}}/\partial {\overline {U}}\wedge M_{+}}$,

wobei die erste Abbildung ${\displaystyle S^{N}-U}$ auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von ${\displaystyle (id,p)}$ induziert wird. Dann ist

${\displaystyle u:=\Sigma ^{-N}\Sigma ^{\infty }f\colon \mathbf {S} \to Th(\nu _{M})\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}}$

eine S-Dualität.

Falls ${\displaystyle M}$ bzgl. eines Ringspektrums ${\displaystyle E}$ orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen ${\displaystyle E}$-Orientierungen (Thom-Klassen) unter

${\displaystyle u_{E}\colon \left[Th(\nu _{M}),E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}\right]}$

den homologischen ${\displaystyle E}$-Orientierungen (Fundamentalklassen).

• Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008

• Spanier-Whitehead: Duality in homotopy theory
• Milnor-Spanier: Two remarks on fiber homotopy type