Metrischer Zusammenhang

Sei ${\displaystyle (M,{\tilde {g}})}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle (E\to M,g)}$ ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik ${\displaystyle g}$. Ein Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ auf ${\displaystyle E}$ heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte ${\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle (\nabla _{X}g)(Y,Z)=0}$

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle ${\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle X(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel ${\displaystyle TM}$ an ${\displaystyle M}$ mit der riemannschen Metrik von ${\displaystyle M}$. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Sei ${\displaystyle (E\to M,g)}$ ein Vektorbündel mit Metrik ${\displaystyle g,}$ dann ist die Menge ${\displaystyle X}$ der metrischen Zusammenhänge auf ${\displaystyle E}$ ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E)),}$ d. h., es gibt eine Abbildung

${\displaystyle l:{\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))\times X\to X,}$

so dass mit der Notation ${\displaystyle \omega +\nabla$ :=l(\omega ,\nabla )}

1. für jedes ${\displaystyle \nabla \in X}$ die Gleichung ${\displaystyle 0+\nabla =\nabla }$ gilt,
2. für jedes ${\displaystyle \omega ,\nu \in {\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ und für alle ${\displaystyle \nabla \in E}$ das Assoziativgesetz ${\displaystyle (\omega +\nu )+\nabla =\omega +(\nu +\nabla )}$ gilt und
3. für alle ${\displaystyle \nabla \in X}$ die Abbildung ${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\nabla }$ bijektiv ist.

• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
• Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
• Ü. Lumiste: Metric connection. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).