Methode von Chester-Friedman-Ursell

Im Kern geht es um Integrale der Form

${\displaystyle I(\alpha ,N):=\int _{C}e^{-Nf(\alpha ,t)}g(\alpha ,t)dt}$

mit Kontur ${\displaystyle C}$, einer stetigen Kurve in der komplexen ${\displaystyle t}$-Ebene, wobei

• ${\displaystyle f,g}$ analytische Funktionen in der komplexen Variable ${\displaystyle t}$ und stetige Funktionen in ${\displaystyle \alpha }$ sind. Alternativ kann ${\displaystyle g}$ auch nur von ${\displaystyle t}$ abhängen.
• ${\displaystyle N}$ sehr groß ist.

Angenommen, man hat zwei Sattelpunkte ${\displaystyle t_{+},t_{-}}$ mit Multiplizität ${\displaystyle 1}$, d. h. es sind Nullstellen von ${\displaystyle f_{t}(\alpha ,t)}$, und wendet die Methode des steilsten Anstieges an, so hängen diese von dem Parameter ${\displaystyle \alpha }$ ab. Falls nun ein ${\displaystyle \alpha _{0}}$ existiert, so dass die beiden Sattelpunkte übereinstimmen, d. h. der neue Sattelpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ hat Multiplizität ${\displaystyle 2}$, so erhält man mit der Methode des steilsten Anstieges asymptotische Entwicklungen, die nicht mehr für alle ${\displaystyle \alpha }$ in der Region um ${\displaystyle \alpha _{0}}$ uniform übereinstimmen. Die Methode von Chester-Friedman-Ursell behebt dieses Problem.

Nehmen wir an, es gibt zwei einfache Sattelpunkte ${\displaystyle t_{-}:=t_{-}(\alpha ),t_{+}:=t_{+}(\alpha )}$ von ${\displaystyle f}$, d. h. es gilt ${\displaystyle f_{t}(\alpha ,t_{-})=f_{t}(\alpha ,t_{+})=0}$, die im Punkt ${\displaystyle t_{0}:=t_{0}(\alpha _{0})}$ verschmelzen.

Wir starten mit der kubischen Transformation ${\displaystyle t\mapsto w}$ von ${\displaystyle f(\alpha ,t)}$, dies bedeutet wir führen eine komplexe Variable ${\displaystyle w}$ ein und schreiben ${\displaystyle f(\alpha ,t)}$ als folgendes Polynom

${\displaystyle f(\alpha ,t)={\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta (\alpha )w+A(\alpha ),}$

wobei wir ${\displaystyle \eta$ :=\eta (\alpha )} und ${\displaystyle A:=A(\alpha )}$ herleiten werden.

Es gilt

${\displaystyle {\frac {dt}{dw}}={\frac {w^{2}-\eta }{f_{t}(\alpha ,t)}},}$

damit die kubische Transformation analytisch und injektiv sein wird, dürfen ${\displaystyle dt/dw}$ und ${\displaystyle dw/dt}$ nicht ${\displaystyle 0}$ oder ${\displaystyle \infty }$ sein.

Somit müssen ${\displaystyle t=t_{-}}$ und ${\displaystyle t=t_{+}}$ mit den Nullstellen von ${\displaystyle w^{2}-\eta }$ übereinstimmen, d. h. mit ${\displaystyle w_{+}:=\eta ^{1/2}}$ und ${\displaystyle w_{-}:=-\eta ^{1/2}}$. Dies führt zu folgendem Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{cases}f(\alpha ,t_{-})=-{\frac {2}{3}}\eta ^{3/2}+A,\\f(\alpha ,t_{+})={\frac {2}{3}}\eta ^{3/2}+A,\end{cases}}}$

um die Koeffizienten ${\displaystyle \eta }$ und ${\displaystyle A}$ zu bestimmen. Ein Satz von Chester-Friedman-Ursell garantiert nun die Analytizität und Injektivität der kubischen Transformation in einer lokalen Umgebung um den kritischen Punkt ${\displaystyle (\alpha _{0},t_{0})}$.

Das Integral sieht nach der Transformation wie folgt aus

${\displaystyle I(\alpha ,N)=e^{-NA}\int _{L}\exp \left(-N\left({\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta w\right)\right)h(\alpha ,w)dw,}$

wobei ${\displaystyle L}$ die neue Kontur für ${\displaystyle w}$ ist und

${\displaystyle h(\alpha ,w):=g(\alpha ,t){\frac {dt}{dw}}=g(\alpha ,t){\frac {w^{2}-\eta }{f_{t}(\alpha ,t)}}.}$

Die Funktion ${\displaystyle h(\alpha ,w)}$ ist eine analytische Funktion an den Stellen ${\displaystyle w_{+}(\alpha ),w_{-}(\alpha )}$ für ${\displaystyle \alpha \neq \alpha _{0}}$ und am verschmelzenden Punkt ${\displaystyle w_{0}}$ für ${\displaystyle \alpha _{0}}$, somit können wir das Integral in die Form

${\displaystyle I(\alpha ,N)=e^{-NA}\int _{L}\exp \left(-N\left({\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta w\right)\right)\left(\sum \limits _{m}c_{m}(\alpha )^{m}\right)dw}$

bringen.

Hier endet die Methode von Chester-Friedman-Ursell.

Der Ausdruck der Exponentialfunktion ist die Integraldarstellung der Airy-Funktion ${\displaystyle \operatorname {Ai} (\eta )}$. Nun kann man mit Partielle-Integrations-Methoden wie zum Beispiel der Bleistein-Methode das Integral in eine Summe von ${\displaystyle \operatorname {Ai} (\eta )}$ und ${\displaystyle \operatorname {Ai} '(\eta )}$ verwandeln.

Falls man die Bleistein-Methode nicht benützt, so sollte man gemäß Chester-Friedman-Ursell ${\displaystyle h(\alpha ,w)}$ nicht als eine einzige Potenzreihe schreiben, sondern in folgende Form

${\displaystyle h(\alpha ,w)=\sum \limits _{m}q_{m}(\alpha )(w^{2}-\eta )^{m}+\sum \limits _{m}p_{m}(\alpha )w(w^{2}-\eta )^{m}}$

bringen, damit man auch wirklich asymptotische Entwicklungen erhält.[2]

Seien ${\displaystyle t_{+}:=t_{+}(\alpha ),t_{-}:=t_{-}(\alpha )}$ und ${\displaystyle t_{0}:=t_{0}(\alpha _{0})}$ wie oben. Die kubische Transformation

${\displaystyle f(t,\alpha )={\tfrac {1}{3}}w^{3}-\eta (\alpha )w+A(\alpha )}$

mit den oben hergeleiteten Werten für ${\displaystyle \eta (\alpha )}$ und ${\displaystyle A(\alpha )}$, so dass ${\displaystyle t=t_{\pm }}$ mit ${\displaystyle u=\pm \eta ^{1/2}}$ übereinstimmt, besitzt genau eine Verzweigung ${\displaystyle w=w(\alpha ,t)}$, so dass für alle ${\displaystyle \alpha }$ in einer Umgebung von ${\displaystyle \alpha _{0}}$ die Transformation analytisch und injektiv ist.[3]