Mercator-Projektion

Zylinderprojektion, normale Lage (Zylinderachse = Erdachse)

Normale Mercator-Projektion

Bei der normalen Mercator-Projektion werden Breitenkreise und Meridiane zu Geraden. Flächen werden durch die Projektion auf die nun parallelen Meridiane in Ost-West-Richtung mit dem Kehrwert des Cosinus der geographischen Breite gedehnt. In Nord-Süd-Richtung muss daher dieselbe Dehnung vorgenommen werden, die Lage eines Punktes errechnet sich dann mit dem Integral des Kehrwerts des Cosinus der geographischen Breite.

Die folgenden Gleichungen bestimmen die Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ eines Punktes auf einer Mercatorkarte aus seiner geographischen Breite ${\displaystyle \varphi }$ und geographischen Länge ${\displaystyle \lambda }$ (mit ${\displaystyle \lambda _{0}}$ als geographischer Länge des Kartenzentrums, Winkel im Bogenmaß). Die Erde wird als kugelförmig angenommen; Längen sind mit dem Erdradius dimensionslos gemacht. Die Gleichung für ${\displaystyle y}$ ist das oben genannte Integral des Kehrwerts des Cosinus der geographischen Breite (anstelle des Tangens bei der gnomonischen Zylinderprojektion):

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} t}{\cos t}}\\&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]\\&=\ln \left(\tan \varphi +\sec \varphi \right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right)\\&=\mathop {\rm {artanh}} \left(\sin \varphi \right)\\&=\mathop {\rm {arsinh}} \left(\tan \varphi \right)\end{aligned}}}$

Die Inverse ist die Gudermannfunktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\arctan \left(e^{y}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\&=\arctan \left(\sinh y\right)\\&=\arcsin \left(\tanh y\right)\\\lambda &=x+\lambda _{0}\end{aligned}}}$

Schnittzylinder in transversaler Lage (Zylinderachse senkrecht zur Erdachse)

Die Anwendung der Mercator-Projektion in transversaler Lage des Abbildungszylinders wurde 1772 von Johann Heinrich Lambert veröffentlicht. Zur Steigerung der Genauigkeit erweiterte Carl Friedrich Gauß 1825 die Anwendung auf das Erdellipsoid, die von Louis Krüger 1912 für die praktische Anwendung weiter untersucht wurde (vgl. Gauß-Krüger-Koordinatensystem).

Transversale Mercator-Projektion für 45° E

Transversale Mercator-Projektion für den Nullmeridian

Die normale Mercator-Abbildung liegt wegen ihrer Winkel- und Achsentreue fast allen Seekarten und einigen Luftfahrtkarten zugrunde. Die Maßstabsänderungen sind auf größeren Ausschnitten der Erdoberfläche merklich, so dass die am Kartenrand gedruckte Breitengradskala nicht äquidistant ist. Eine Seemeile auf der Seekarte entspricht genau einer Bogenminute auf der gleichen Breite am linken oder rechten Kartenrand.

Für kleinräumige Karten, insbesondere für die Grundkarten sehr vieler Landesvermessungen, findet die transversale Mercator-Projektion als Gauß-Krüger-Koordinatensystem, Universale transversale Mercator-Projektion (UTM) und Ähnliches in großem Umfang Anwendung. Die UTM findet Anwendung in 30 unterschiedlichen Achslagen für jeweils 6° breite Streifen, Gauß-Krüger verwendet doppelt so viele Lagen für Streifen von 3°. Um die Längentreue über die breitere Abbildungsfläche zu verbessern, schneidet bei der UTM der Projektionszylinder das Erdellipsoid in zwei Linien.

In Deutschland und Österreich war bisher die Gauß-Krüger-Projektion Grundlage der Landesvermessung. Die in der Geodäsie mittlerweile erforderliche internationale Zusammenarbeit hat international der auf Gauß-Krüger basierenden jüngeren Universalen Transversalen Mercator-Projektion zur Durchsetzung verholfen, auf die auch in Deutschland und Österreich umgestellt wird.

In der schweizerischen Landesvermessung findet eine schiefachsige Mercator-Projektion Anwendung, bei der die Achse so gewählt ist, dass der Fundamentalpunkt der Landesvermessung, die Sternwarte Bern, auf demselben Meridian sowie auf der Berührungslinie liegt.[2]

Im Internet nutzen sowohl freie Projekte wie OpenStreetMap[3] als auch kommerzielle Anbieter wie Bing Maps und Yahoo Maps für zweidimensionale Darstellungen vorzugsweise diese Projektion.

Google Maps wechselte 2018 dagegen auf eine orthografische Azimutalprojektion, bei der die Kugelgestalt der Erde beim Herauszoomen sichtbar wird.[4]

Für großflächige Karten, insbesondere Weltkarten, soweit sie nicht speziell der Kursbestimmung in der Navigation dienen, ist die Mercator-Projektion wegen ihrer mit zunehmendem Abstand von der Berührungslinie stark zunehmenden Verzerrungen ungeeignet. Dass sie hier dennoch zeit- und teilweise verwendet wurde, führte ab 1974 zu einer von Arno Peters initiierten Diskussion um die Mercator-Projektion und die Alternative der annähernd flächentreuen zylindrischen Peters-Projektion, die in der Kartographie als Galls orthographische Projektion bekannt ist. Peters kritisierte, dass die Mercator-Projektion ein „eurozentrisches Weltbild“ vermittele, da auf einer Weltkarte in normaler Mercator-Projektion industrialisierte Länder in gemäßigten Breiten wie Europa im Verhältnis größer erscheinen als äquatornahe Gebiete, wo hauptsächlich Entwicklungsländer liegen.