Mengen positiver Reichweite

Mit

${\displaystyle Unp(A):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\exists$ !\ a^{*}\in A:d_{A}(x)=\|x-a^{*}\|_{2}\}}

wird die Menge aller eindeutig nächsten Punkte von ${\displaystyle A}$ bezeichnet (von engl.: unique closest points). Der Quantor ${\displaystyle \exists$ !} meint dabei Existenz und Eindeutigkeit des nächsten Punktes in ${\displaystyle A}$.

Es ist leicht zu sehen, dass stets ${\displaystyle A\subseteq Unp(A)}$ gelten muss.

Die kanonische Surjektion ${\displaystyle \Pi _{A}\colon Unp(A)\to A\$ ;\ x\mapsto a^{*}} wird die metrische Projektion auf ${\displaystyle A}$ genannt. Eingeschränkt auf ${\displaystyle A}$ ist sie die Identität.

Es sei für einen Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle B^{\circ }(x;\varepsilon )=\{y\in \mathbb {R} ^{n}|\|x-y\|_{2}<\varepsilon \}}$ die offene Kugel um ${\displaystyle x}$ mit Radius ${\displaystyle \varepsilon }$. Dann sei für einen Punkt ${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle reach(A;a):=\sup\{r\geq 0|B^{\circ }(a;r)\subseteq Unp(A)\}}$

die Reichweite dieses Punktes.

Obige Definition lässt sich in natürlicher Weise auf Mengen übertragen, so sei schließlich

${\displaystyle reach\ A:=\inf _{a\in A}\ reach(A;a)}$

die Reichweite von ${\displaystyle A}$.

Es gibt eine anschauliche Erklärung dieses Begriffes: Hat eine Menge ${\displaystyle A}$ positive Reichweite, dann ist ihr Rand ${\displaystyle \partial A}$ glatt genug, um einen Ball mit Radius ${\displaystyle reach\ A}$ an ihm entlang zu rollen.[4]