Mellin-Transformation

Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.[1]

Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ ist definiert als die Funktion

${\displaystyle M_{f}(s):=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t}$

für komplexe Zahlen ${\displaystyle s}$, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (s)}}}$, also

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.}$

Dabei ist ${\displaystyle \Gamma }$ die Gamma-Funktion.

Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }M_{f}(s)x^{-s}\mathrm {d} s}$

von ${\displaystyle M_{f}(s)}$ zu ${\displaystyle f(x)}$ für jedes reelle ${\displaystyle c}$ mit ${\displaystyle b>c>a>0}$ möglich. Hierbei seien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zwei positive reelle Zahlen.

• das Integral ${\displaystyle M_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\mathrm {d} x}$ ist in dem Streifen ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}}$ absolut konvergent
• ${\displaystyle M_{f}(s)}$ ist in dem Streifen ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}}$ analytisch
• der Ausdruck ${\displaystyle M_{f}(c\pm \mathrm {i} t)}$ strebt für ${\displaystyle t\to \infty }$ und jedem beliebigen Wert ${\displaystyle c}$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gleichmäßig gegen 0
• die Funktion ${\displaystyle f(x)}$ ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral ${\displaystyle t=e^{x}}$, setzt man ${\displaystyle F(x)=f(e^{x})}$ und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle {\widehat {F}}}$, so ist für reelle ${\displaystyle s}$

${\displaystyle M_{f}(\mathrm {i} s)={\sqrt {2\pi }}{\widehat {F}}(s)}$.

Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe ${\displaystyle f}$ und eine Potenzreihe ${\displaystyle F}$ zueinander in Beziehung setzen. Es seien

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ und ${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

mit den gleichen ${\displaystyle a_{n}}$. Dann gilt

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm {d} t}$.

Setzt man hierin zum Beispiel alle ${\displaystyle a_{n}=1}$, so ist ${\displaystyle f}$ die Riemannsche Zetafunktion, und man erhält

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t}$

für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

• Eric W. Weisstein: Mellin Transform. In: MathWorld (englisch).

1. Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez: The Transforms and Applications Handbook. Hrsg.: Alexander D. Poularikas. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 11.1.