Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und der Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$ einen Wert außerhalb des Intervalls ${\displaystyle (\mu -k\sigma ,\mu +k\sigma )}$ annimmt, höchstens gleich ${\displaystyle 1/k^{2}}$ ist, d. h.

${\displaystyle 1-P(\mu -k\sigma \leq X\leq \mu +k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}\quad {\text{für alle}}\ k>0\;.}$

Z. B. ergibt sich für ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle 1-P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\leq {\frac {1}{4}},}$

d. h. außerhalb des ${\displaystyle 2\sigma }$-Intervalls um dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ liegt höchstens die Wahrscheinlichkeit 1/4. Bei einer Zufallsstichprobe sind höchstens 25 % der Werte von ${\displaystyle X}$ außerhalb des Intervalls zu erwarten.

${\displaystyle \mathbf {X} }$ sei ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ und invertierbarer Kovarianzmatrix ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Dann hat die reelle Zufallsvariable ${\displaystyle Y=(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})}$ den Erwartungswert ${\displaystyle d}$[1] und mit der Markow-Ungleichung folgt

${\displaystyle 1-P(Y<k^{2})=P(Y\geq k^{2})\leq {\frac {d}{k^{2}}}\quad {\text{für alle }}k>0}$.

Damit gilt für den Zufallsvektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$ die Ungleichung

${\displaystyle P((\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})\geq k^{2})\leq {\frac {d}{k^{2}}}\quad {\text{für alle }}k>0}$.

Diese Ungleichung ergibt sich als Spezialfall einer Ungleichung für quadratische Formen von Zufallsvariablen.[2][3] Die Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben.[4]

Die Menge

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}\mid (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\leq k^{2}\}}$

ist ein Ellipsoid mit Mittelpunktvektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$. Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt somit für ${\displaystyle d=2}$, dass außerhalb einer Konzentrationsellipse mit ${\displaystyle k=2}$ höchstens 50 % der Stichproben-Tupel liegen. Das ist (wie im Eindimensionalen) eine grobe Abschätzung.

Beachte, dass die quadratische Form ${\displaystyle \mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} =k^{2}}$ den Rand der Streuregion einer zentrierten ${\displaystyle d}$-dimensionalen Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{d}(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ mit invertierbarer Kovarianzmatrix ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ beschreibt. Siehe auch Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung und Quadratische Formen von Zufallsvariablen.

• Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 1391, doi:10.1007/978-3-662-64389-1.
• D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, Theorem 1, S. 297, JSTOR:2101213.
• A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel / Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2, Theorem 4.8.1, S. 188.

1. Siehe dazu Erwartungswert einer quadratischen Form von Zufallsvariablen.
2. A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel /Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2, Theorem 4.8.1, S. 188.
3. D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, Theorem 1, S. 297, JSTOR:2101213.
4. S. S. Wilks: Mathematical Statistics. Wiley, New York 1962, S. 92 (referenziert nach D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms, S. 298).