Maximales und minimales Element

${\displaystyle (X,\leq )}$ sei eine Quasiordnung, ${\displaystyle M\subseteq X}$ eine Teilmenge der Grundmenge ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle x\in M}$.

${\displaystyle x\ }$ ist maximales Element von ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle$ :\Longleftrightarrow \forall y\in M:(x\leq y\Rightarrow y\leq x)}

${\displaystyle x\ }$ ist minimales Element von ${\displaystyle M\ }$ ${\displaystyle$ :\Longleftrightarrow \forall y\in M:(y\leq x\Rightarrow x\leq y)}

• M := {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} ist die Menge der nichttrivialen natürlichen Teiler der Zahl 36. Diese Menge ist bezüglich der Teilbarkeit partiell geordnet. Minimale Elemente sind 2 und 3, maximal sind 12 und 18. Es gibt kein kleinstes und kein größtes Element. Unter den ganzzahligen nichttrivialen Teilern von 36 sind 2, 3, −2 und −3 minimal, während 12, 18, −12 und −18 maximal sind.
• Die nichtleeren Teilmengen einer gegebenen Menge X sind durch Inklusion partiell geordnet. Minimal in dieser Ordnung sind alle einelementigen Teilmengen {x}, maximales (und auch größtes) Element ist X selbst.
• In einem Vektorraum ist eine Basis eine (bezüglich Inklusion) maximale linear unabhängige Teilmenge.
• In jedem Ring ${\displaystyle (R,\mid )}$ ist die ${\displaystyle 0}$ wegen ${\displaystyle \forall r\in R:r\cdot 0=0}$, und somit ${\displaystyle \forall r\in R:r\mid 0}$, ein größtes Element hinsichtlich der Teilbarkeitsrelation ${\displaystyle \mid }$ und somit auch maximal. Alle Einheiten in ${\displaystyle (R,\mid )}$ sind kleinste Elemente und somit auch minimal.

• Jede endliche nichtleere geordnete Menge hat minimale und maximale Elemente, unendliche geordnete Mengen müssen keine maximalen und minimalen Elemente haben.
• Eine total geordnete Menge hat höchstens ein maximales und ein minimales Element, partiell geordnete Mengen können mehrere maximale und minimale Elemente haben.
• Ist x ein größtes Element von M, dann ist x auch (bis auf Isomorphie) das einzige maximale Element von M. Ist M endlich, dann gilt auch die Umkehrung: Wenn M (bis auf Isomorphie) genau ein maximales Element hat, dann ist dieses auch ein größtes Element. Für unendliche Mengen gilt diese Aussage nicht.
• Ist x ein kleinstes Element von M, dann ist x auch das (bis auf Isomorphie) einzige minimale Element von M. Ist M endlich, dann gilt auch die Umkehrung: Wenn M (bis auf Isomorphie) genau ein minimales Element hat, dann ist dieses auch ein kleinstes Element. Für unendliche Mengen gilt diese Aussage nicht.
• Hat jede Kette in einer nichtleeren halbgeordneten Menge eine obere Schranke, dann hat die Menge mindestens ein maximales Element. (Dies ist das Lemma von Zorn.)
• Für zwei maximale oder zwei minimale Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ gilt ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow y\leq x}$. Bei Halbordnungen bedeutet dies, dass verschiedene maximale bzw. minimale Elemente nicht vergleichbar sind. Dies lässt sich noch verallgemeinern: Die Menge aller maximalen Elemente ist eine Antikette in der Ordnung. Gleiches gilt für die Menge aller minimalen Elemente.

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6