Matrizenring

Die Menge der quadratischen Matrizen erfüllt mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation die Ringaxiome:

• Sie bildet mit der Matrizenaddition eine kommutative Gruppe, nachdem ${\displaystyle (R,+)}$ eine kommutative Gruppe ist.
• Sie bildet mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe aufgrund der Assoziativität der Matrizenmultiplikation.
• Die Distributivgesetze gelten aufgrund der Distributivität der Matrizenmultiplikation mit der Matrizenaddition.
• Das neutrale Element bezüglich der Addition im Matrizenring ist die Nullmatrix

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle 0}$ das neutrale Element von ${\displaystyle R}$ ist.

• Das Einselement im Matrizenring ist die Einheitsmatrix

${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle 1}$ das Einselement von ${\displaystyle R}$ ist. Um Trivialfälle auszuschließen, wird im Weiteren ${\displaystyle 1\neq 0}$ angenommen.

Die Nullmatrix ist im Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ ein absorbierendes Element, das heißt für alle Matrizen ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle A\cdot 0=0\cdot A=0}$.

Der Matrizenring ist für ${\displaystyle n>1}$ nicht nullteilerfrei, denn aus ${\displaystyle A\cdot B=0}$ folgt nicht notwendigerweise ${\displaystyle A=0}$ oder ${\displaystyle B=0}$. So gilt beispielsweise

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

Der Matrizenring ist demnach für ${\displaystyle n>1}$ kein Integritätsring. Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekürzt werden, denn aus ${\displaystyle A\cdot B=A\cdot C}$ folgt nicht notwendigerweise ${\displaystyle B=C}$.

Der Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ ist für ${\displaystyle n>1}$ nicht kommutativ, selbst wenn ${\displaystyle R}$ kommutativ sein sollte, denn es gilt beispielsweise

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$.

Der Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ ist genau dann kommutativ, wenn ${\displaystyle n=1}$ ist und ${\displaystyle R}$ kommutativ ist.[1]

Das Zentrum des Matrizenrings, also die Menge der Elemente, die mit allen anderen kommutieren, ist

${\displaystyle Z(R^{n\times n})=\{z\cdot I\mid z\in Z(R)\}}$,

wobei ${\displaystyle Z(R)}$ das Zentrum von ${\displaystyle R}$ ist.[1]

Der Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ ist isomorph zum Ring der Endomorphismen (Selbstabbildungen) des freien Moduls ${\displaystyle R^{n}}$, also

${\displaystyle R^{n\times n}\cong \operatorname {End} (R^{n})}$.

Die komponentenweise Addition von Abbildungen entspricht dabei der Matrizenaddition und die Hintereinanderausführung von Abbildungen der Matrizenmultiplikation. Der Nullmatrix entspricht die Nullabbildung und der Einsmatrix die identische Abbildung.

Ein unitärer Ring ${\displaystyle S}$ ist genau dann isomorph zum Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$, wenn es eine Menge von ${\displaystyle n^{2}}$ Elementen ${\displaystyle e_{ij}}$, ${\displaystyle i,j=1,\dotsc ,n}$, gibt, sodass

${\displaystyle e_{ij}e_{kl}=\delta _{jk}e_{il}}$

sowie

${\displaystyle e_{11}e_{11}+e_{22}e_{22}+\dotsb +e_{nn}e_{nn}=1}$

gelten und wenn der Zentralisator dieser Elemente in ${\displaystyle S}$ isomorph zu ${\displaystyle R}$ ist.[1]

Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, dann wird die Determinante einer Matrix als normierte alternierende Multilinearform ${\displaystyle R^{n\times n}\to R}$ definiert. Die Determinante einer Matrix kann dann über die Leibniz-Formel

${\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}$

ermittelt werden, wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ vom Grad ${\displaystyle n}$ läuft und ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet. Für die Determinante des Produkts zweier Matrizen gilt der Determinantenproduktsatz

${\displaystyle \det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B}$.

Der Spaltenrang einer Matrix wird als die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in dem freien Modul ${\displaystyle R^{n}}$ definiert. Entsprechend ist der Zeilenrang einer Matrix die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, dann stimmen Spaltenrang und Zeilenrang überein und man spricht von dem Rang der Matrix, wobei

${\displaystyle \operatorname {rang} A\leq n}$

gilt. Für den Rang des Produkts zweier Matrizen gilt dann[2]

${\displaystyle \operatorname {rang} (A\cdot B)\leq \min\{\operatorname {rang} A,\operatorname {rang} B\}}$.

Die quadratischen Matrizen mit Einträgen aus einem Untering ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle R}$ bilden ebenfalls einen Unterring ${\displaystyle U^{n\times n}}$ im Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$. Matrizenringe weisen jedoch weitere Unterringe auf. Beispielsweise werden strukturelle Unterringe gebildet durch:

• die Menge der Diagonalmatrizen; dieser Unterring ist kommutativ, falls ${\displaystyle R}$ kommutativ ist
• die Menge der (strikt) oberen oder (strikt) unteren Dreiecksmatrizen
• die Menge der Blockdiagonalmatrizen oder Blockdreiecksmatrizen
• die Menge der Matrizen, bei denen bestimmte Spalten oder Zeilen nur Nulleinträge besitzen

Viele Ringe lassen sich als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings. Diese Unterringe werden gelegentlich auch als Matrizenringe bezeichnet und der Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ dann zur besseren Unterscheidung voller Matrizenring genannt.

Die Einheitengruppe im Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ ist die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ bestehend aus den regulären Matrizen. Für die Inverse des Produkts zweier regulärer Matrizen ${\displaystyle A,B\in R^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}}$.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des freien Moduls ${\displaystyle R^{n}}$ bilden. Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, dann existiert zu jeder Matrix ${\displaystyle A}$ eine Adjunkte ${\displaystyle \operatorname {adj} A}$, sodass

${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} A=\operatorname {adj} A\cdot A=\det A\cdot I}$

gilt. In diesem Fall ist die Invertierbarkeit einer Matrix äquivalent zur Invertierbarkeit ihrer Determinante ${\displaystyle \det A}$ in ${\displaystyle R}$.[1]

Die Ideale im Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ sind gerade durch ${\displaystyle J^{n\times n}}$ gegeben, wobei ${\displaystyle J}$ ein Ideal von ${\displaystyle R}$ ist. Die Faktorringe des Matrizenrings werden damit durch

${\displaystyle R^{n\times n}/J^{n\times n}\cong (R/J)^{n\times n}}$

charakterisiert.