Satz (Mathematik)

Obschon ein mathematischer Satz aus einer Aussage beliebiger Form bestehen kann (Beispiel: „Nicht V oder A.“), wird ein mathematischer Satz meist in die im Konjunktiv formulierte Voraussetzung und die als Aussagesatz formulierte Aussage gegliedert (Beispiel: „Sei V. Dann gilt A.“), so dass der Eindruck einer Implikation entsteht.

Vorsicht: Durch das unüberlegte Herauslösen und Anwenden einzelner Teile eines Satzes können Fehlschlüsse entstehen, da diese Teile im Allgemeinen keine Gültigkeit haben müssen.

1. „${\displaystyle n\notin \mathbb {N} \quad \vee \quad n{\mbox{ ist nicht prim}}\quad \vee \quad n=2\quad \vee \quad n{\mbox{ ist ungerade}}}$“
2. „Sei n eine Primzahl. Für n gilt: ${\displaystyle n=2\quad \vee \quad n\in 2\cdot \mathbb {N} +1}$“
3. Aus der ebenen Geometrie: „Wenn ein echtes Viereck ein Parallelogramm ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.“ (Hierbei bedeutet „echtes Viereck“, dass ausgeartete und überschlagene Vierecke von der Betrachtung ausgeschlossen sind).
4. „Der Fahrpreis zwischen zwei Stationen im Verkehrsverbund X ist eine Metrik auf der Menge der Stationen.“ Das ist eine mathematische Aussage, denn der Fahrpreis ist durch die Tarifbestimmungen eindeutig definiert, und der Begriff Metrik in der Mathematik. Wenn die Aussage in einem Verkehrsverbund richtig ist (meistens, aber nicht immer), ist sie ein aus den Axiomen im Tarif beweisbarer Satz.
5. „Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.“ Das ist kein Satz im mathematischen Sinne schon wegen der fehlenden Definitionen von regnen und Straße und der möglichen Abhängigkeit von weiteren Bedingungen.

Vertauscht man in einem Satz Voraussetzung und Aussage des Satzes, erhält man den zugehörigen Umkehrsatz oder auch Kehrsatz[A 1]. Das sind logische Aussagen der Form „Voraussetzung ⇐ Aussage“. Es sind dann folgende Fälle zu unterscheiden:

• Wenn der Umkehrsatz kein Satz – also falsch – ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes hinreichend, aber nicht notwendig.
• Wenn der Umkehrsatz ein Satz – also zutreffend – ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man einen weiteren Satz formulieren, in dem Voraussetzung und Aussage des Satzes logisch äquivalent sind (Beispiel: „V gilt genau dann, wenn A gilt“).

1. „Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, denn das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die Voraussetzung des Satzes „es hat geregnet“ ist somit hinreichend, aber nicht notwendig.
2. „Wenn in einem echten Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Die Voraussetzung des Satzes ist notwendig und hinreichend. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „Ein echtes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.“

Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in Voraussetzung und Aussage aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab.

Die logische Aussage ${\displaystyle \lnot A\lor \lnot B\lor C}$ lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben:

1. ${\displaystyle (A\land B)\Rightarrow C}$ − Umkehrsatz: ${\displaystyle C\Rightarrow (A\wedge B)\quad \equiv \quad (A\vee \neg C)\wedge (B\vee \neg C)}$
2. ${\displaystyle A\Rightarrow (\lnot B\lor C)}$ – Umkehrsatz: ${\displaystyle (\lnot B\lor C)\Rightarrow A\quad \equiv \quad (A\vee B)\wedge (A\vee \neg C)}$

Ersichtlich gilt im Allgemeinen nicht, dass die beiden Umkehrsätze äquivalent sind.