Martingalkonvergenzsatz

Es sei ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein Submartingal und es gebe eine Konstante ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n}^{+})\leq M}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ das heißt, der Erwartungswert der Positivteile ${\displaystyle X_{n}^{+}=\max(X_{n},0)}$ ist beschränkt. Dann existiert eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\infty }\in {\mathcal {L}}^{1}}$ mit ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}X_{\infty }}$ fast sicher.

Für den Beweis ist das sog. Aufkreuzungslemma von entscheidender Bedeutung. Dieses sagt aus, dass für zwei reelle Zahlen ${\displaystyle b>a}$, die zwei Stoppzeiten ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ mit ${\displaystyle \sigma _{0}\equiv 0}$ und

${\displaystyle \tau _{k}:=\inf\{n\geq \sigma _{k-1}\mid X_{n}\leq a\}}$

${\displaystyle \sigma _{k}:=\inf\{n\geq \tau _{k}\mid X_{n}\geq b\}}$

und die Zufallsvariable

${\displaystyle U_{n}^{a,b}:=\sup\{k\in \mathbb {N} \mid \sigma _{k}\leq n\}}$

der Anzahl der Aufkreuzungen die Ungleichung

${\displaystyle \mathbb {E} [U_{n}^{a,b}]\leq {\frac {\mathbb {E} [(X_{n}-a)^{+}]-\mathbb {E} [(X_{0}-a)^{+}]}{b-a}}}$

erfüllt. Aus dieser kann mittels der Ungleichung ${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}-a)^{+}]\leq |a|+\mathbb {E} [X_{n}^{+}]}$ aus der vorausgesetzten gleichmäßigen Beschränktheit der ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}^{+}]}$ gefolgert werden, dass ${\displaystyle \mathbb {E} [U_{n}^{a,b}]}$ ebenfalls gleichmäßig beschränkt ist. Der monotone Limes ${\displaystyle U^{a,b}:=\lim _{n\to \infty }U_{n}^{a,b}}$ existiert jedoch, und es folgt ${\displaystyle P(U^{a,b}<\infty )=1}$. Für beliebige reelle Zahlen ${\displaystyle b>a}$ gilt aber

${\displaystyle \left\{\liminf _{n\to \infty }X_{n}<a\right\}\cap \left\{\limsup _{n\to \infty }X_{n}>b\right\}\subset \left\{U^{a,b}=\infty \right\}}$

und damit folgt, dass das Ereignis

${\displaystyle \bigcup _{a,b\in \mathbb {Q} }\left\{\liminf _{n\to \infty }X_{n}<a\right\}\cap \left\{\limsup _{n\to \infty }X_{n}>b\right\}}$

fast sicher nicht eintritt. Also wird ${\displaystyle X_{n}}$ fast sicher gegen ein ${\displaystyle X_{\infty }}$ konvergieren. Nach dem Lemma von Fatou ist einerseits ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\infty }^{+}]\leq \sup\{\mathbb {E} [X_{n}^{+}]\mid n\geq 0\}<\infty }$, ähnlich wird ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\infty }^{-}]<\infty }$ gefolgert.

Sei ${\displaystyle p>1}$ und es gebe eine Konstante ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \mathbb {E} (|X_{n}|^{p})\leq M}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ das heißt, die Folge ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist beschränkt im Raum ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}.}$ Dann existiert eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\infty }\in {\mathcal {L}}^{p}}$ mit ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}X_{\infty }}$ fast sicher und in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$.

Die Aussage ist für ${\displaystyle p=1}$ im Allgemeinen falsch: Ein in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ beschränktes Martingal muss nicht unbedingt in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ konvergieren.

Ist ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein gleichgradig integrierbares Submartingal, dann existiert eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\infty }\in {\mathcal {L}}^{1}}$ mit ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}X_{\infty }}$ fast sicher und in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$.

Weiter gilt ${\displaystyle X_{n}\leq \mathbb {E} (X_{\infty }\mid {\mathcal {F}}_{n})}$ und, im Falle dass ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein Martingal ist, sogar ${\displaystyle X_{n}=\mathbb {E} (X_{\infty }\mid {\mathcal {F}}_{n})}$. Man sagt, das Martingal wird durch ${\displaystyle X_{\infty }}$ abgeschlossen.