Martingal

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sowie eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Gegeben sei ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, für den gilt:

• Der Prozess ist ein integrierbarer Prozess, das heißt, es ist ${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• Der Prozess ist adaptiert an ${\displaystyle \mathbb {F} }$, das heißt, ${\displaystyle X_{n}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-messbar für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Dann heißt ${\displaystyle X}$ ein Martingal (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$), wenn

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\in \mathbb {N} }$

gilt.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} (Y|{\mathcal {B}})}$ den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariablen ${\displaystyle Y}$, gegeben die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Sind ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sowie eine beliebige, geordnete Indexmenge ${\displaystyle T}$ (meist ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$) und eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ gegeben, so heißt ein integrierbarer, an ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adaptierter Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ ein Martingal (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$), wenn für alle ${\displaystyle s,t\in T}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})=X_{s}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } s\leq t}$.

Die Definition im diskreten Fall ist ein Spezialfall der Definition des zeitstetigen Falls. Denn ist ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein diskretes Martingal, so gilt, gemäß der Turmregel,

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}\vert {\mathcal {F}}_{n-1})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X_{n+1}\vert {\mathcal {F}}_{n})\vert {\mathcal {F}}_{n-1})=\operatorname {E} (X_{n}\vert {\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n-1}.}$

Induktiv folgt ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{m}\vert {\mathcal {F}}_{n})=X_{n}}$ für alle ${\displaystyle m\geq n}$.

Ein integrierbarer und an ${\displaystyle \mathbb {F} }$ adaptierter diskreter stochastischer Prozess heißt Submartingal, wenn

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\geq X_{n}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\in \mathbb {N} }$,

und Supermartingal, wenn

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\leq X_{n}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\in \mathbb {N} }$

gilt. Im stetigen Falle definiert man analog ein Submartingal über

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\geq X_{s}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } s\leq t}$.

und ein Supermartingal über

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\leq X_{s}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } s\leq t}$.

Submartingale sind also im Gegensatz zu Martingalen tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.

Die Eigenschaft, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein, kommt nicht stochastischen Prozessen allein zu, sondern immer einem stochastischen Prozess in Kombination mit einer Filtrierung. Daher sollte die Filtrierung immer mit angegeben werden. Manche Autoren geben keine Filtrierung mit an, wenn sie die von dem Prozess selbst erzeugte Filtrierung verwenden, die durch ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{E}:=\sigma ({X_{s};s\leq t})}$ gegeben ist. Wenn ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ein Martingal bezüglich einer Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ ist, dann ist es auch ein Martingal bezüglich ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t}^{E})_{t\in T}}$.

Sei ${\displaystyle I}$ eine halbgeordnete Menge, ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$ ein Banachraum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ und ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in I}}$ ein ${\displaystyle E}$-wertiger Prozess darauf. Dann nennt man ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle \mathbb {F} }$-${\displaystyle P}$-Martingal, falls

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adaptiert ist,
• ${\displaystyle \forall t\in I}$ ist ${\displaystyle X_{t}\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P;E)}$, das heißt ${\displaystyle \mathbb {E} \|X_{t}\|_{E}<\infty }$,
• ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}|{\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}}$ ${\displaystyle P}$-fast sicher für alle ${\displaystyle s,t\in I}$ mit ${\displaystyle t\geq s}$ ist.

Falls zusätzlich gilt, dass

• ${\displaystyle \forall t\in I}$ ist ${\displaystyle X_{t}\in L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P;E)}$, das heißt ${\displaystyle \mathbb {E} \|X_{t}\|_{E}^{p}<\infty }$,

dann ist ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {F} ,P)}$-Martingal oder kurz ${\displaystyle L^{p}}$-Martingal.[1]

Analog ist ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler Prozess ${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$ ein Martingal in einem Raum ${\displaystyle S^{d}}$, falls jede Komponente ${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$ ein ein-dimensionales Martingal in ${\displaystyle S}$ ist.

Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Filtration und ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle P}$-integrierbare Zufallsvariable auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Dann wird durch

${\displaystyle X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})}$

ein Martingal (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$) definiert.

Um zu zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt, rechnet man die Definition nach:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}}$.

Somit handelt es sich um ein Martingal. Dabei ist die erste Umformung das Einsetzen der Definition, die zweite eine Anwendung der Turmregel des bedingten Erwartungswertes und die dritte wieder Einsetzen der Definition.

In einer Pólya-Urne liegen zu Beginn eine schwarze und eine weiße Kugel. In jedem Schritt wird eine Kugel zufällig aus der Urne gezogen und im Anschluss mit einer weiteren gleichfarbigen Kugel gemeinsam zurückgelegt. Wenn ${\displaystyle X_{n}}$ die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne nach ${\displaystyle n}$ Schritten bezeichnet, so ist ${\displaystyle \left({\frac {X_{n}}{n+2}}\right)_{n\geq 0}}$ ein Martingal bzgl. der kanonischen Filtrierung.

Ein Spezialfall des obigen Martingals sind Doob-Martingale: Ist eine P-integrierbare Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ gegeben und wird die Filtrierung durch eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ erzeugt, also

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (Y_{0},\dots ,Y_{n})}$,

so heißt das Martingal, welches durch

${\displaystyle X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X|Y_{0},\dots ,Y_{n})}$

definiert wird, ein Doob-Martingal (benannt nach Joseph L. Doob).

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ein Martingal. Es gilt, für alle ${\displaystyle s\leq t}$,

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X_{t}\vert {\mathcal {F}}_{s}))=\operatorname {E} (X_{s}).}$

Falls ${\displaystyle T}$ total geordnet ist, so ist der Erwartungswert von allen ${\displaystyle X_{t}}$ also gleich. Wenn ${\displaystyle X_{t}}$ beispielsweise das Kapital eines Glücksspielers zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ modelliert, so ist das Glücksspiel also in der Tat fair, denn der Erwartungswert des Kapitals ist gleich dem Anfangskapital.

• ${\displaystyle X}$ ist genau dann ein Submartingal, wenn ${\displaystyle -X}$ ein Supermartingal ist
• Sind ${\displaystyle X,Y}$ (Sub-)Supermartingale und ist ${\displaystyle a,b\geq 0}$, dann ist auch ${\displaystyle aX+bY}$ ein (Sub-)Supermartingal.
• Sind ${\displaystyle X,Y}$ Martingale, so ist auch ${\displaystyle aX+bY}$ ein Martingal für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.
• Sind ${\displaystyle X,Y}$ Supermartingale, dann ist auch

${\displaystyle Z=(\min(X_{t},Y_{t}))_{t\in T}}$

ein Supermartingal.

• Sind ${\displaystyle X,Y}$ Submartingale, dann ist auch

${\displaystyle Z=(\max(X_{t},Y_{t}))_{t\in T}}$

ein Submartingal.

• Ist ${\displaystyle \varphi }$ eine konvexe Funktion und ${\displaystyle X}$ ein Martingal und gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi (X_{t})^{+})<\infty }$, so ist ${\displaystyle (\varphi (X_{t}))_{t\in T}}$ ein Submartingal.

Sind zwei Filtrierungen ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}^{*}}$ gegeben und ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ kleiner als ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ in dem Sinne, dass für jedes ${\displaystyle t}$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}}_{t}^{*}}$, so ist jedes ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$-Martingal auch ein ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-Martingal.

Seien ${\displaystyle X,Y}$ zwei quadratintegrierbare Martingale mit ${\displaystyle X_{0}=Y_{0}=0}$ und seien ${\displaystyle X_{\infty },Y_{\infty }}$ ihre terminalen Werte, dann heißen sie

• schwach orthogonal wenn ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\infty }Y_{\infty }]=0}$,
• stark orthogonal wenn ${\displaystyle XY}$ ein gleichmäßig-integrierbares Martingal ist oder äquivalent wenn ${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{t}=0}$.[2]

Die wichtigsten Ungleichungen im Bezug auf Martingale sind die Doobsche Maximalungleichung und die Aufkreuzungsungleichung. Die Doobsche Maximalungleichung liefert eine Abschätzung dafür, welcher Maximalwert eines Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht überschritten wird. Die Aufkreuzungsungleichung liefert eine Aussage darüber, wie oft ein Submartingal ein vorgegebenes Intervall von unten nach oben durchquert.

Das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem kombinieren Stoppzeiten mit Martingalen und beschäftigen sich mit den Eigenschaften und Erwartungswerten der gestoppten Prozesse. Mit diesen Ergebnissen kann man zeigen, dass keine Abbruchstrategie für ein faires Spiel existiert, die für den Spieler vorteilhaft ist.

Ein Martingal und ein vorhersagbarer, lokal beschränkter Prozess lassen sich mittels des diskreten stochastischen Integrals zu einem neuen Martingal kombinieren. Man nennt diesen Prozess dann die Martingaltransformierte des ursprünglichen Martingals. Die Martingaltransformierte ist wieder ein Martingal. Dies hat weitreichende Folgen für die Existenz von Spielstrategien in fairen Spielen, die dem Spieler im Mittel Gewinn bringen. Modelliert das Martingal das faire Spiel und der vorhersagbare, lokal beschränkte Prozess die Spielstrategie, so folgert aus der Martingaltransformation, dass es keine Spielstrategie gibt, die dem Spieler im Allgemeinen einen Vorteil bringt.

Die Doob-Zerlegung erlaubt für jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess eine Zerlegung in ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess.

Der Martingalkonvergenzsatz liefert für Zufallsvariablen, die ein Martingal bilden, Kriterien unter denen sie fast sicher oder im p-ten Mittel konvergieren.

Lokale Martingale sind Prozesse, für die eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten existiert, so dass für jede Stoppzeit der gestoppte Prozess ein Martingal ist.

Semimartingale sind eine Klasse von adaptierten Prozessen mit Càdlàg-Pfaden (Die Pfade sind rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren), die sich in ein lokales Martingal, ein Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen lassen.

Rückwärtsmartingale sind Martingale, bei denen die Indexmenge umgekehrt wird. Sie laufen quasi „falschherum“ bzw. von hinten nach vorne.