Markow-Ungleichung (Analysis)

Die Markow-Ungleichungen – benannt nach den russischen Mathematikern Andrei und Wladimir Markow – geben eine obere Schranke für die Ableitung von Polynomen in dem abgeschlossenen reellen Intervall [−1,+1] an. Sie werden in der Approximationstheorie gebraucht. Gelegentlich werden diese Ungleichungen auch als Markow-brothers' Ungleichungen bezeichnet.

Grundform

Andrei Markow veröffentlichte im Jahr 1889 folgende Ungleichung:[1]

Sei $P$ ein Polynom vom Grad höchstens $n$ und $P'$ seine erste Ableitung, dann gilt

\max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)\leq n^{2}\cdot \max _{-1\leq x\leq 1}(|P(x)|)

Sie lässt sich mit Hilfe der Bernstein-Ungleichung aus der Analysis beweisen.[2]

Die Konstante $n^{2}$ ist die bestmögliche. Wählt man nämlich für $P$ das $n$ -te Tschebyschow-Polynom, dann gilt Gleichheit:[3]

\max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)=n^{2}\cdot \max _{-1\leq x\leq 1}(|P(x)|)

Verallgemeinerung

1892 verallgemeinerte Andreis Bruder Vladimir Markov diese Ungleichung für höhere Ableitungen:[4]

Sei $P$ ein Polynom vom Grad kleiner gleich $n$ und $P^{(k)}$ die $k$ -te Ableitung, dann gilt

\max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|

Für den Spezialfall $k=1$ erhält man die erste Ungleichung. Werner Wolfgang Rogosinski fand 1955 einen einfacheren Beweis.[5]

In den 1940er und 1950er Jahren fanden Mathematiker weitere Verallgemeinerungen und auch Verschärfungen dieser Ungleichungen.[6] So verschärften Richard Duffin und Albert C. Schaeffer im Jahre 1961 die Grundform zu[7]

\max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)\leq n^{2}\cdot \max(|P(x_{i})|)

wobei $x_{i}$ die Extremwerte der Tschebyschow-Polynome n-ten Grades $T_{n}$ sind.

Literatur

Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 90–91 und 228.

Einzelnachweise

Andrei Markow: Sur une question posée par Mendeleieff. Izvestia Akademii Nauk SSSR Vol. 62 (1889), S. 1–24.
Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 90–91.
Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 94, Problem 8.
Vladimir Markov: On functions deviating the least from zero on a given interval. St. Petersburg 1892, - Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen. In: Mathematische Annalen. Vol. 77 (1916), S. 213–258. (PDF (Memento vom 8. Februar 2021 im Internet Archive))
Werner Wolfgang Rogosinski: Some elementary inequalities for polynomials. In: Mathematical Gazette. Vol. 39 (1955), S. 7–12.
Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 228.
Richard Duffin, Albert C. Schaeffer: A refinement of an inequality of the brothers Markoff. In: American Mathematical Society Transactions. (TAMS), Vol. 50 (1941), S. 517–528 (PDF)

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[AAMark-1] Andrei Markow: Sur une question posée par Mendeleieff. Izvestia Akademii Nauk SSSR Vol. 62 (1889), S. 1–24.

[Cheney-90-2] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 90–91.

[Cheney-8-3] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 94, Problem 8.

[VAMArk-4] Vladimir Markov: On functions deviating the least from zero on a given interval. St. Petersburg 1892, - Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen. In: Mathematische Annalen. Vol. 77 (1916), S. 213–258. (PDF (Memento vom 8. Februar 2021 im Internet Archive))

[Rogo-5] Werner Wolfgang Rogosinski: Some elementary inequalities for polynomials. In: Mathematical Gazette. Vol. 39 (1955), S. 7–12.

[Cheney-228-6] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 228.

[Duff-7] Richard Duffin, Albert C. Schaeffer: A refinement of an inequality of the brothers Markoff. In: American Mathematical Society Transactions. (TAMS), Vol. 50 (1941), S. 517–528 (PDF)