Mangoldt-Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion (auch Von Mangoldt-Funktion), benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit $\Lambda$ bezeichnet wird.

Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

\Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}

Erläuterungen

Für zusammengesetzte Zahlen $n$ also

\Lambda (n)=0\iff n=p_{1}^{r_{1}},\dots ,p_{n}^{r_{n}},\qquad n\geq 2

wobei $p_{1}^{r_{1}},\dots ,p_{n}^{r_{n}}$ ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet.

Das heißt, die Mangoldt-Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit $0$ identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.

Die ersten Werte von $\Lambda (n)$ sind

0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\log 11,0,\log 13,0,0,\log 2,\log 17,0,\log 19,0,0,0\dots

Die Mangoldt-Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

$\exp(\Lambda (n))$ lässt sich explizit angeben als

e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n)}{\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n-1)}}

wobei ${\rm {kgV}}$ das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge $\exp(\Lambda (n))$ sind

1,2,3,2,5,1,7,2,3,1,11,1,13,1,1,2,17,1,19,1,1,1,\dots

(Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

Die summierte Mangoldt-Funktion,

\psi (n)=\sum _{i=1}^{n}\Lambda (i),

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen

Bezeichne mit $\mu (n)$ die Möbius-Funktion. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für $n\in \mathbb {N}$ . Es gilt

\sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\log n\,

Weiter gilt

\Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\log \left({\frac {n}{d}}\right)\qquad (1)

\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log d\quad \quad (2)

\Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot \log d

\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n

Durch Anwendung der Mobius-Inversionsformel kann $(1)$ gezeigt werden, $(2)$ folgt daraus.

Hierbei bedeutet $d\mid n$ , dass $d$ ein positiver Teiler von $n$ ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von $n$ .

Folgerungen

Sei $p$ eine Primzahl, Beziehung $(2)$ kann man zum Beispiel nützen, wenn man Primzahlzwillinge $(p,p+2)$ untersucht

\sum \limits _{p\leq x}\Lambda (p+2)=-\sum \limits _{p\leq x}\sum _{d\mid p+2}\mu (d)\log d.

Dirichlet-Reihen

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen $\zeta$ -Funktion und der Mangoldt-Funktion:

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.

Allgemeiner gilt sogar: Ist $f$ multiplikativ und ihre Dirichletreihe $F$

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

konvergiert für gewisse $s$ , dann gilt

{\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.

Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als

\Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d)

wobei $\mu$ die Möbius-Funktion bezeichnet und $k\in \mathbb {Z} _{+}$ .

Als Dirichlet-Faltung geschrieben

\Lambda _{k}(n)=(\mu \ast \log ^{k})(n).

Im Fall $k=1$ erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion $\Lambda _{1}=\Lambda$ .[1]

Eigenschaften

Für $k\geq 1$ gilt folgende Rekursion[2]

\Lambda _{k+1}(n)=\Lambda _{k}(n)\log(n)+(\Lambda _{k}\ast \Lambda )(n)

Es folgt aus der Rekursion, dass wenn $\omega (n)>k$ dann ist $\Lambda _{k}(n)=0$ .

Abschätzen der Mangoldt-Funktion

Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode, der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und Vaughans Identität.

Referenzen

Eric W. Weisstein: Mangoldt Function. In: MathWorld (englisch).
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Einzelnachweise

John Friedlander und Henryk Iwaniec: Opera de Cribro. In: American Mathematical Society (Hrsg.): American Mathematical Society Colloquium Publications. Band 57, 2010, ISBN 978-0-8218-4970-5, S. 23 (englisch).
J. B. Friedlander, D.R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski: Analytic Number Theory: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Cetraro, Italy, July 11-18, 2002. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2006, S. 16.

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[1] John Friedlander und Henryk Iwaniec: Opera de Cribro. In: American Mathematical Society (Hrsg.): American Mathematical Society Colloquium Publications. Band 57, 2010, ISBN 978-0-8218-4970-5, S. 23 (englisch).

[2] J. B. Friedlander, D.R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski: Analytic Number Theory: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Cetraro, Italy, July 11-18, 2002. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2006, S. 16.