Malliavin-Ableitung

Die Malliavin-Ableitung (auch stochastische Ableitung genannt) ist ein Begriff aus dem Malliavin-Kalkül und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezüglich des Ergebnisparameters . Da Zufallsvariablen meistens fast sicher definiert sind und im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt, versagen klassische Ableitungsbegriffe wie zum Beispiel die Fréchet-Ableitung und es muss ein neuer Differenzierungsoperator unabhängig von der topologischen Struktur definiert werden.

Die Malliavin-Ableitung ist nach dem französischen Mathematiker Paul Malliavin benannt. Der adjungierte Operator der Malliavin-Ableitung ist der Divergenz-Operator, betrachtet man einen L2-Raum und weißes Rauschen, dann nennt man diesen Skorochod-Integral.

Malliavin-Ableitung

Mit notieren wir den Raum der glatten Funktionen, deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen, d. h. für alle und ein .

Sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und ein isonormaler Gauß-Prozess auf einem separablen Hilbert-Raum und . Definiere die Klasse glatter Zufallsvariablen der Form

für und .

Die Malliavin-Ableitung einer Zufallsvariable ist die -wertige Zufallsvariable

Die Richtungsableitung nach ist dann definiert als[1]

Erläuterungen

  • Die Ableitung hängt nicht von der Darstellung von ab.
  • Der Operator ist abschließbar von nach für und dieser eindeutige Abschluss wird wieder mit notiert.[2]
  • Wir definieren die -te Ableitung als die -wertige Zufallsvariable durch die Iteration .
  • Die Domäne von in , d. h. die Vervollständigung von bezüglich der Malliavin-Sobolew-Norm definiert durch
notieren wir mit . Der Raum wird manchmal auch als Watanabe-Sobolew-Raum bezeichnet.
  • Falls und mit , dann gilt und die Kettenregel
  • Für ist die Ableitung ein Prozess wegen der Identifikation und häufig als respektive allgemeiner für mit der Identifikation als notiert.[3]
  • Der adjungierte Operator von wird Divergenzoperator genannt und üblicherweise mit notiert. Im -Fall für weißem Rauschen nennt man diesen Skorochod-Integral.
  • Durch Tensorierung können wir die Definition auf Hilbert-wertige Variablen erweitern und erhalten eine Abbildung nach .
  • Es existiert auch eine Erweiterung zu einem Banach-wertigen Operator , wobei das Operator-Ideal der -radonifizierten Operatoren ist.

Beispiele

  • Wir betrachten das kanonische Modell und und
mit weißem Rauschen
dann ist die Ableitung in Richtung gegeben durch

Partielle Integration

Sei und , dann gilt

und daraus folgt

Literatur

Einzelnachweise

  1. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  2. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 465486, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.
  3. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3 (Kapitel 1.2.1).
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