Malfatti-Kreis

Malfatti-Kreise nach Malfatti, Berechnungsskizze

Variante mit vorherigen Berechnungen

Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte ${\displaystyle x\;={\overline {AC_{1}}},\;y={\overline {BC_{2}}}}$ und ${\displaystyle z={\overline {CA_{2}}}}$ liefern.

Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:

${\displaystyle {\overline {AI}}={\sqrt {r^{2}+s^{2}}},\;\;\;{\overline {BI}}={\sqrt {r^{2}+t^{2}}},\;\;\;{\overline {CI}}={\sqrt {r^{2}+u^{2}}},}$

darin bedeuten die Bezeichnungen

${\displaystyle s={\overline {AL_{c}}},\;t={\overline {BL_{c}}}}$ und ${\displaystyle u={\overline {CL_{a}}}.}$

Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich, eine sogenannte Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$ mit der Länge ${\displaystyle m}$ zu bestimmen

${\displaystyle m={\frac {1}{2}}\left({\overline {AI}}+{\overline {BI}}+{\overline {CI}}-{\overline {AL_{c}}}-{\overline {BL_{c}}}-{\overline {CL_{a}}}+r\right),}$

dann gilt für die oben beschriebenen Tangentenabschnitte

${\displaystyle x={\overline {AC_{1}}}={\overline {AI}}-m,\;\;\;y={\overline {BC_{2}}}={\overline {BI}}-m,\;\;\;z={\overline {CA_{2}}}={\overline {CI}}-m.}$

Wird in der Formel für ${\displaystyle m}$ der Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ den Summanden einzeln zugeordnet

${\displaystyle m={\frac {1}{2}}{\overline {AI}}+{\frac {1}{2}}{\overline {BI}}+{\frac {1}{2}}{\overline {CI}}-{\frac {1}{2}}{\overline {AL_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {BL_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {CL_{a}}}+{\frac {1}{2}}r,}$

ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar.

Malfatti-Kreise nach Malfatti mit Konstruktion der Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit den Seitenlängen ${\displaystyle a,\;b}$ und ${\displaystyle c}$ wird der Mittelpunkt des Inkreises ${\displaystyle I}$ mithilfe der drei Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha },\omega _{\beta }}$ und ${\displaystyle \omega _{\gamma }}$ bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken ${\displaystyle {\overline {AI}},{\overline {BI}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CI}}.}$ Es folgt das Fällen des Lots von ${\displaystyle I}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle L_{a}}$ und das Ziehen des Inkreises ${\displaystyle k}$ um ${\displaystyle I}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {IL_{a}}}.}$ Das Fällen der Lote von ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle L_{b}}$ sowie von ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle L_{c}}$ schließt sich an.

Nun wird die Länge ${\displaystyle m}$ der Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$ folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\overline {AI}},\;{\frac {1}{2}}{\overline {BI}}}$ und ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\overline {CI}}}$ addiert, aus deren Summe die Streckenhälften ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\overline {AL_{c}}},\;{\frac {1}{2}}{\overline {BL_{c}}}}$ und ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\overline {CL_{a}}}}$ subtrahiert und schließlich zum erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r}$ addiert.

Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {PQ}},}$ sprich ${\displaystyle m,}$ mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha },\omega _{\beta }}$ und ${\displaystyle \omega _{\gamma }}$ ab dem Inkreismittelpunkt ${\displaystyle I}$ übertragen; dies ergibt die Punkte ${\displaystyle D,\;E}$ und ${\displaystyle F.}$ Ab den Punkten ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$ einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite ${\displaystyle c}$ und ab ${\displaystyle F}$ einen Kreisbogen bis auf ${\displaystyle a}$ geschlagen, ergibt die Punkte ${\displaystyle C_{1},\;C_{2}}$ und ${\displaystyle A_{2}.}$ Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten ${\displaystyle C_{1},\;C_{2}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ auf die betreffenden Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha },\omega _{\beta }}$ und ${\displaystyle \omega _{\gamma };,}$ somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte ${\displaystyle M_{A},\;M_{B}}$ und ${\displaystyle M_{C}.}$

Um die Berührungspunkte ${\displaystyle B_{2},\;A_{1}}$ und ${\displaystyle B_{1}}$ zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten ${\displaystyle M_{A},\;M_{B}}$ und ${\displaystyle M_{C}}$ auf die Dreieckseiten ${\displaystyle b,\;a}$ und nochmals ${\displaystyle b}$ zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise ${\displaystyle k_{A},\;k_{B}}$ und ${\displaystyle k_{C}}$ mit den Radien ${\displaystyle r_{A},\;r_{B}}$ und ${\displaystyle r_{C}}$ einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte ${\displaystyle G,\;H}$ und ${\displaystyle J.}$

Somit sind die drei Malfatti-Kreise ${\displaystyle k_{A},\;k_{B}}$ und ${\displaystyle k_{C}}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten ${\displaystyle C_{1},\;C_{2},\;A_{1},\;A_{2},\;B_{1},\;B_{2},\;G,\;H}$ und ${\displaystyle J}$ konstruiert.

Jakob Steiner brachte 1826 die Malfatti-Kreise in Verbindung mit den Inkreisen aus drei Teildreiecken, die deswegen als Konstruktionselement für die Malfatti-Kreise verwendet werden können. Steiner formulierte dazu den Satz:

Hierbei ist zu betonen, dass die von Steiner erwähnten Tangenten an die Malfatti-Kreise im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierenden von ${\displaystyle \triangle ABC}$ sind, sondern deren Spiegelbilder an den Verbindungsgeraden zweier Inkreismittelpunkte der Teildreiecke.

Julius Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung (Variante ohne vorherige Berechnungen)[19] des Konstruktionsproblems von Malfatti, die im Folgenden dargestellt ist.[20]

Konstruktionsbeschreibung

Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1)–(3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(1) Hauptschritt: Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke ${\displaystyle \triangle BCI,\;\triangle CAI}$ und ${\displaystyle \triangle ABI}$

(1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke ${\displaystyle \triangle BCI,\;\triangle CAI}$ und ${\displaystyle \triangle ABI.}$[20]

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit den Seitenlängen ${\displaystyle a,\;b}$ und ${\displaystyle c}$ wird der Mittelpunkt des Inkreises ${\displaystyle I}$ mithilfe der drei Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha },\omega _{\beta }}$ und ${\displaystyle \omega _{\gamma }}$ bestimmt. Die Inkreismittelpunkte ${\displaystyle M_{P},\;M_{Q}}$ und ${\displaystyle M_{R}}$ der Teildreiecke ${\displaystyle \triangle BCI,\;\triangle CAI}$ und ${\displaystyle \triangle ABI}$ erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z. B. durch Vierteln der Winkel ${\displaystyle \alpha ,\;\beta ,}$ und ${\displaystyle \gamma .}$ Es folgt das Fällen des Lots von ${\displaystyle M_{P}}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle P}$ und das Ziehen des Inkreises ${\displaystyle k_{P}}$ um ${\displaystyle M_{P}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{P}P}}.}$ Das Fällen der Lote von ${\displaystyle M_{Q}}$ auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle Q}$ sowie von ${\displaystyle M_{R}}$ auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle R}$ und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise ${\displaystyle k_{Q}}$ und ${\displaystyle k_{R},}$ um ihre Mittelpunkte ${\displaystyle M_{Q}}$ bzw. ${\displaystyle M_{R},}$ schließen sich an.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(2) Hauptschritt: Konstruktion der drei Tangenten ${\displaystyle {\overline {RZ}},{\overline {PX}}}$ und ${\displaystyle {\overline {QY}}}$

(2) Konstruktion der drei Tangenten ${\displaystyle {\overline {RZ}},{\overline {PX}}}$ und ${\displaystyle {\overline {QY}}}$

Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle M_{P},}$ der Halbierung der Strecke ${\displaystyle {\overline {RM_{P}}}}$ in ${\displaystyle M_{1}}$ und dem Einzeichnen des Thaleskreises ${\displaystyle k_{1}.}$ Er schneidet den Inkreis ${\displaystyle k_{P}}$ in den Punkten ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L.}$ Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt ${\displaystyle R}$ durch den Berührungspunkt ${\displaystyle L}$ des Inkreises ${\displaystyle k_{P},}$ bis sie die Dreieckseite ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle Z}$ schneidet.

Im Anschluss daran wird ${\displaystyle P}$ mit ${\displaystyle M_{Q}}$ verbunden, die Strecke ${\displaystyle {\overline {PM_{Q}}}}$ in ${\displaystyle M_{2}}$ halbiert und der Thaleskreis ${\displaystyle k_{2}}$ eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis ${\displaystyle k_{Q}}$ in den Punkten ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle N.}$ Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt ${\displaystyle P}$ durch ${\displaystyle N,}$ bis sie die Dreieckseite ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle X}$ schneidet, liefert den Schnittpunkt ${\displaystyle T.}$ Da ${\displaystyle T}$ auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von ${\displaystyle Q}$ durch ${\displaystyle T}$ bis auf die Dreieckseite ${\displaystyle c}$ und den Schnittpunkt ${\displaystyle Y.}$ Somit ist auch die dritte Tangente ${\displaystyle {\overline {QY}}}$ ermittelt.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(3) Hauptschritt: Konstruktion der Malfatti-Kreise ${\displaystyle k_{A},k_{B}}$ und ${\displaystyle k_{C}}$

(3) Konstruktion der Malfatti-Kreise ${\displaystyle k_{A},\;k_{B}}$ und ${\displaystyle k_{C}}$

Zunächst wird im Dreieck ${\displaystyle ARZ}$ die Winkelhalbierende ${\displaystyle \omega _{\epsilon }}$ vom Punkt ${\displaystyle R}$ bis auf die Winkelhalbierende ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt ${\displaystyle M_{A}}$ des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von ${\displaystyle M_{A}}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle C_{1}}$ und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises ${\displaystyle k_{A}}$ um ${\displaystyle M_{A}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{A}C_{1}}}.}$ Das Fällen der Lote von ${\displaystyle M_{A}}$ auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle B_{2}}$ sowie von ${\displaystyle M_{A}}$ auf die Tangente ${\displaystyle RZ}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle C'}$ schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab ${\displaystyle M_{A}}$ durch ${\displaystyle C'}$ bis auf die Winkelhalbierende ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ erzeugt den Mittelpunkt ${\displaystyle M_{B}.}$ Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises ${\displaystyle k_{B}}$ um ${\displaystyle M_{B}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{B}C'}}}$ werden die Lote von ${\displaystyle M_{B}}$ auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle C_{2},}$ von ${\displaystyle M_{B}}$ auf ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle A_{1}}$ sowie von ${\displaystyle M_{B}}$ auf die Tangente ${\displaystyle PX}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle A'}$ gefällt. Die darauf folgende Linie ab ${\displaystyle M_{B}}$ durch ${\displaystyle A'}$ bis auf die Winkelhalbierende ${\displaystyle \omega _{\gamma }}$ erzeugt den Mittelpunkt ${\displaystyle M_{C}.}$ Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises ${\displaystyle k_{C}}$ um ${\displaystyle M_{C}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{C}A'}}.}$

Um die Berührungspunkte ${\displaystyle A_{2},\;B_{1}}$ und ${\displaystyle B'}$ zu erhalten, bedarf es noch zweier gefällter Lote vom Mittelpunkt ${\displaystyle M_{C}}$ auf ${\displaystyle {\overline {BC}},}$ von ${\displaystyle M_{C}}$ auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und der Verbindung des Punktes ${\displaystyle M_{A}}$ mit ${\displaystyle M_{C}.}$

Somit sind die drei Malfatti-Kreise ${\displaystyle k_{A},\;k_{B}}$ und ${\displaystyle k_{C}}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten ${\displaystyle C_{1},\;C_{2},\;A_{1},\;A_{2},\;B_{1},\;B_{2},\;A',\;B'}$ und ${\displaystyle C'}$ konstruiert.

Konstruktion nach H. Lob und H. W. Richmond,
gleichseitiges Dreieck mit Inkreis als Teil der Lösung des Maximierungs-Problems

H. Lob und H. W. Richmond veröffentlichten 1930[15] eine Lösung für das Maximierungs-Problem von Malfatti. Darin wird der Inkreis des gleichseitigen Dreiecks als ein Kreis von dreien genutzt. Die Bedeckung der Dreiecksfläche durch diese Anordnung der Kreise ist nur marginal größer, nämlich um ${\displaystyle \approx 1\,\%}$, aber dafür ist die Aufgabe leicht und mit wenig Aufwand darstellbar.

Sie haben damit bewiesen,

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines gleichseitigen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit den gleich langen Seitenlängen ${\displaystyle a,\;b}$ und ${\displaystyle c}$ wird der Mittelpunkt des Inkreises ${\displaystyle I}$ mithilfe der drei Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha },\omega _{\beta }}$ und ${\displaystyle \omega _{\gamma }}$ bestimmt. Es folgt das Fällen des Lots von ${\displaystyle I}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle D}$ und das Ziehen des Inkreises ${\displaystyle k}$ um ${\displaystyle I}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {ID}};}$ die Schnittpunkte sind ${\displaystyle E}$ mit der Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ und ${\displaystyle F}$ mit der Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\beta }.}$ Das Fällen der Lote von ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle G}$ sowie von ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle H}$ schließt sich an.

Für die kleineren Kreise zieht man (im gleichseitigen Dreieck) zwei Parallelen zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ – eine ab dem Punkt ${\displaystyle E}$ bis auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ mit dem Schnittpunkt ${\displaystyle J}$, die zweite ab dem Punkt ${\displaystyle F}$ bis auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit dem Schnittpunkt ${\displaystyle K.}$ Das Errichten des Lots mit dem Fußpunkt ${\displaystyle J}$ auf die Winkelhalbierende ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ und das Errichten des Lots auf die Winkelhalbierende ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle K}$ ergibt die Mittelpunkte ${\displaystyle M_{A}}$ und ${\displaystyle M_{B}.}$ Nun wird ein Kreis um ${\displaystyle M_{A}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{A}E}}}$ und ein Kreis um ${\displaystyle M_{B}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{B}F}}}$ gezogen. Um die beiden letzten Berührungspunkte zu erhalten, werden abschließend zwei Lote auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gefällt, von ${\displaystyle M_{A}}$ und von ${\displaystyle M_{B}}$, dabei ergeben sich die Fußpunkte ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle M.}$

Somit sind in das gleichseitige Dreieck die drei Kreise ${\displaystyle k,\;k_{A}}$ und ${\displaystyle k_{B}}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten ${\displaystyle D,\;E,\;F,\;G,\;H,\;J,\;K,\;L}$ und ${\displaystyle M}$ konstruiert.

Michael Goldberg veröffentlichte 1967 einen Aufsatz, in dem er zeigte, dass Malfattis Konstruktion, unabhängig von der Form des Dreiecks, in keinem Fall das Maximierungs-Problem erfüllen kann. Zu diesem Ergebnis kam er – ohne es zu beweisen –[8] durch Untersuchungen anhand unterschiedlicher Formen der Dreiecke, die alle eines gemeinsam hatten: Einer der drei Kreise war stets der Inkreis.[16]

Konstruktionsbeschreibung

Konstruktion nach Goldberg, unregelmäßiges Dreieck mit Inkreis ${\displaystyle k_{1}}$ als einem von den drei das Maximierungs-Problem lösenden Kreisen.
Radius ${\displaystyle {\overline {SR}}<{\overline {OM}},}$ daraus folgt: Der dritte Kreis ${\displaystyle k_{3}}$ liegt auf der Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha }.}$

Nach dem Zeichnen des unregelmäßigen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ wird der Mittelpunkt ${\displaystyle I}$ des Inkreises ${\displaystyle k_{1}}$ mithilfe der zwei Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ und ${\displaystyle \omega _{\gamma }}$ bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken ${\displaystyle {\overline {AI}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CI}}.}$ Es folgt das Fällen des Lots von ${\displaystyle I}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle D}$ und das Ziehen des Inkreises ${\displaystyle k_{1}}$ um ${\displaystyle I}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {ID}};}$ der Schnittpunkt auf ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ist ${\displaystyle E.}$ Das Fällen der Lote von ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle F}$ sowie von ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ mit dem Fußpunkt ${\displaystyle G}$ schließt sich an.

Der Mittelpunkt des zweiten Kreises ${\displaystyle k_{2}}$ wird nun sehr einfach mit zwei Schritten bestimmt. Es bedarf dafür nur einer Senkrechten zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AI}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle E,}$ die ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ in ${\displaystyle H}$ schneidet, und einer Winkelhalbierenden des Winkels ${\displaystyle AHE.}$ Der damit erzeugte Punkt ${\displaystyle J}$ ist der Mittelpunkt des zweiten Kreises ${\displaystyle k_{2}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {JE}}}$ und den Berührungspunkten ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$ mit zwei Seiten des Dreiecks.

Um für den dritten und letzten gesuchten Kreis den größtmöglichen Radius zu finden, werden zuerst auf zwei Winkelhalbierenden – auf dreien, falls es die Form des Dreiecks verlangt – mögliche Radien bestimmt. Man erhält sie durch analoge Wiederholung der Konstruktionsschritte des zweiten Kreises ${\displaystyle k_{2}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle J.}$ Die gepunkteten Linien im nebenstehenden Bild zeigen den auf der Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ konstruierten Radius ${\displaystyle {\overline {SR}},}$ als Vergleichsmöglichkeit zum Radius ${\displaystyle {\overline {OM}}}$ auf ${\displaystyle \omega _{\alpha }.}$ Die Bewertung der beiden Radien ergibt ${\displaystyle {\overline {SR}}<{\overline {OM}}}$. Daraus folgt: Der Kreis um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ ist der gesuchte größtmögliche dritte Kreis ${\displaystyle k_{3}}$.

Somit sind in das unregelmäßige Dreieck die drei Kreise ${\displaystyle k_{1},\;k_{2}}$ und ${\displaystyle k_{3}}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten ${\displaystyle D,\;E,\;F,\;G,\;K,\;L,\;M,\;P}$ und ${\displaystyle Q}$ konstruiert.

W. A. Salgaller[21] und G. A. Los[7] veröffentlichten – nach ihrer Lösung 1992 (siehe Geschichtliches) – 1994 im Journal of Mathematical Sciences ihre Lösung des Malfatti’schen Maximierungs-Problems.[22][23] Darin sind u. a. fünf allgemeine Dreiecke zu sehen, in denen jeweils der Inkreis einer der drei sich nicht überlappenden Kreise ist. Nur in einem Dreieck davon, in Konstruktion nach Goldberg beschrieben, liegen diese drei Kreise auf derselben Winkelhalbierenden.[24]