Maclaurin-Ungleichung

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und seien ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ positive reelle Zahlen, und definiere

${\displaystyle S_{k}={\binom {n}{k}}^{-1}\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{k}},}$

dann gilt

${\displaystyle S_{1}\geq S_{2}^{1/2}\geq \ldots \geq S_{n}^{1/n}.}$

Bemerkung: ${\displaystyle S_{1}}$ ist das arithmetische Mittel der Zahlen, ${\displaystyle S_{n}^{1/n}}$ das geometrische Mittel. Der Zähler von ${\displaystyle S_{k}}$ ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$.

Seien ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ wie angegeben. Definiere die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ durch ${\displaystyle f(x):=(x+a_{1})\cdots (x+a_{n})}$, diese lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben als ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}S_{k}\,x^{n-k}}$.

Weil ${\displaystyle f}$ eine Polynomfunktion ist, sind auch alle ihre Ableitungen Polynomfunktionen; für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ mit ${\displaystyle m\leq n}$ ist also ${\displaystyle f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,(x+b_{1})\cdots (x+b_{m})}$. Andererseits erhalten wir durch direkte Differentiation der Summendarstellung von ${\displaystyle f}$, dass ${\displaystyle f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}\,S_{k}x^{m-k}}$.

Nach dem Satz von Rolle sind ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}}$ auch alle positiv.

Wieder nach dem Satz von Vieta sind ${\displaystyle b_{1}\cdots b_{m}=S_{m}}$ und ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {b_{1}\cdots b_{m}}{b_{i}}}=m\,S_{m-1}}$.

Nach der AGM-Ungleichung ist ${\displaystyle {\frac {m\,S_{m-1}}{m}}\geq (S_{m}^{m-1})^{1/m}}$ und schließlich ${\displaystyle S_{m-1}^{1/(m-1)}\geq S_{m}^{1/m}}$.