L^p-Ergodensatz

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ und ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$ eine maßerhaltende Abbildung sowie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse. Sei ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ der Raum aller ${\displaystyle p}$-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe auch L^p-Raum), kurz mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ bezeichnet, sowie ${\displaystyle \operatorname {E} (g|{\mathcal {S}})}$ der bedingte Erwartungswert von ${\displaystyle g}$ bezüglich der σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Ist ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$, dann gilt für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}}$, dass auch ${\displaystyle \operatorname {E} (f|{\mathcal {I}})}$ in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ liegt und

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl \Vert }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\circ T^{i}-\operatorname {E} (f|{\mathcal {I}}){\biggr \Vert }_{{\mathcal {L}}^{p}}=0}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {L}}^{p}}}$ die L^p-Norm.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ P-trivial (bzw. äquivalent dazu ${\displaystyle T}$ eine ergodische Transformation), so gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (f|{\mathcal {I}})=\operatorname {E} (f)}$ und demnach

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl \Vert }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\circ T^{i}-\operatorname {E} (f){\biggr \Vert }_{{\mathcal {L}}^{p}}=0}$.

Die Mittelwerte der iterierten Abbildungen konvergieren also im p-ten Mittel gegen den (bedingten) Erwartungswert.

Der ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-Ergodensatz lässt sich wie folgt auf stochastische Prozesse anwenden: Dazu betrachtet man einen kanonischen Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)=(E^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(E)^{\otimes E},P)}$, wobei ${\displaystyle E}$ ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzählbar unendliche Menge oder der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist. Die Transformation definiert man dann als den Shift ${\displaystyle \tau$ :\Omega \to \Omega } , der gegeben ist durch

${\displaystyle \tau ((\omega _{n})_{n\in \mathbb {N} })=(\omega _{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Für den stochastischen Prozess gilt also ${\displaystyle X_{n}(\omega )=X_{0}(\tau ^{n}(\omega ))}$ und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,\tau )}$ ist genau dann ein maßerhaltendes dynamisches System, wenn ${\displaystyle X}$ ein stationärer stochastischer Prozess ist.

Setzt man nun ${\displaystyle f=X_{0}}$, wobei ${\displaystyle X_{0}\in {\mathcal {L}}^{p}}$ sein soll, sowie ${\displaystyle \tau =T}$, so folgt, dass für stationäre Prozesse

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl \Vert }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}-\operatorname {E} (X_{0}|{\mathcal {I}}){\biggr \Vert }_{{\mathcal {L}}^{p}}=0}$

gilt. Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ wieder eine P-triviale σ-Algebra (bzw. ${\displaystyle \tau }$ eine ergodische Transformation oder ${\displaystyle X}$ ein ergodischer stochastischer Prozess), so folgt genauso wie oben, dass ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{0}|{\mathcal {I}})=\operatorname {E} (X_{0})}$ ist.

1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 454

• D.V. Anosov: Von Neumann ergodic theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.