Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Sei ${\displaystyle p\in M}$ ein Raum-Zeit-Punkt (Ereignis) aus der Raumzeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle T_{p}M}$ der Tangentialraum (einen Minkowski-Vektorraum) an ${\displaystyle M}$ im Punkt ${\displaystyle p}$.

Da die lorentzsche Metrik ${\displaystyle g|_{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$ als Pseudoskalarprodukt im Gegensatz zur riemannschen nicht positiv definit ist, treten drei verschiedene Arten von Tangentialvektoren ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ an die Mannigfaltigkeit auf:

• zeitartige Vektoren mit ${\displaystyle g(v,v)<0}$,
• raumartige Vektoren mit ${\displaystyle g(v,v)>0}$,
• lichtartige Vektoren mit ${\displaystyle g(v,v)=0}$.

Lichtartige Vektoren werden wegen ${\displaystyle g(v,v)=0}$ auch Nullvektoren genannt (im weiteren Sinne, englisch null vectors – im engeren Sinn ist das nur ${\displaystyle \mathbf {0} }$ bzw. ${\displaystyle {\vec {0}}}$, en. zero vector).[A 1]

Nicht-raumartige Vektoren (also solche mit ${\displaystyle g(v,v)\leq 0}$) werden auch kausale Vektoren genannt.

Wege bzw. Kurven in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an den Weg bzw. die Kurve auf der gesamten Länge zur entsprechenden Kategorien gehören.

Man kann nun Punktpaaren in der Mannigfaltigkeit ihre Relation zuordnen. Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen den Punkten existiert liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen. Die zeitartige Zukunft bzw. der Inhalt des Lichtkegels eines Punktes ${\displaystyle p}$ ist die Menge aller Punkte ${\displaystyle q}$ die von ${\displaystyle p}$ aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve erreicht werden. Sie wird mit ${\displaystyle I^{+}(p)}$ bezeichnet. Die kausale Zukunft ${\displaystyle J^{+}(p)}$ ist analog die Menge aller Punkte die mit stückweise glatten kausalen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert man die zeitartige und kausale Vergangenheit ${\displaystyle I^{-}(p)}$ und ${\displaystyle J^{-}(p)}$.

Die lorentzsche Länge einer glatten kausalen Kurve mit Parameterdarstellung (Weg) ${\displaystyle \lambda \colon [a,b]\to M}$ ist

${\displaystyle L(\lambda )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {-g(\lambda '(t),\lambda '(t))}}\,dt.}$

${\displaystyle t\in [a,b]}$ ist ein beliebiger Kurvenparameter, nicht notwendig die Zeit.

Im Unterschied zur riemannschen Geometrie ist das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden Punkten immer null. Jedoch die zeitartige Geodäte zwischen diesen zwei Punkten hat, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden Punkten.

Als lorentzscher Abstand ${\displaystyle d(p,q)}$ zwischen zwei Punkten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ von ${\displaystyle M}$ wird nun das Supremum der lorentzschen Länge über alle kausalen Kurven von ${\displaystyle p}$ nach ${\displaystyle q}$ gewählt, wenn ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle J^{+}(p)}$ liegt, ansonsten definiert man ${\displaystyle d(p,q)=0}$.

1. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass wegen Nicht-Entartung gilt: Ist für ${\displaystyle u\in T_{p}M}$ die Bedingung ${\displaystyle g(u,v)=0}$ für alle ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ erfüllt, dann ist ${\displaystyle u=\mathbf {0} }$

• Minkowski-Raum

• John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 202). 2nd Edition. Marcel Dekker Inc., New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9324-2.

1. Christopher Stover: Lorentzian Manifold, auf Wolfram MathWorld