Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation umfasst alle linearen Transformationen der Koordinaten zwischen zwei Beobachtern. Sie sind daher Transformationen zwischen zwei Inertialsystemen, deren Koordinatenursprung, der Bezugspunkt des Koordinatensystems zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$, übereinstimmt. Eine allgemeine Lorentz-Transformation umfasst daher

• Transformationen zwischen zwei Beobachtern, die eine unterschiedliche, konstante Geschwindigkeit besitzen, genannt Lorentz-Boost oder spezielle Lorentz-Transformation.[1] Sie entsprechen einer Drehung im Raum-Zeit-Sektor des nichteuklidischen Minkowskiraums.
• Drehungen der räumlichen Koordinaten
• Zeit- und Raumspiegelungen

Jede allgemeine Lorentz-Transformation lässt sich als Hintereinanderausführung dieser Transformationen schreiben. Eine Lorentz-Transformation, bei der Spiegelungen ausgeschlossen sind und die Orientierung der Zeit erhalten ist, wird als eigentliche, orthochrone Lorentz-Transformation bezeichnet.

Ist der Beobachter A mit konstanter Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{x}}$ in ${\displaystyle x}$-Richtung gegenüber einem anderen Beobachter B bewegt, so hängen die Koordinaten ${\displaystyle \textstyle (t',x',y',z')}$, die Beobachter A einem Ereignis zuschreibt, durch die spezielle Lorentz-Transformation

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}\,x\right)\\x'&=\gamma (x-v_{x}\,t)\\y'&=y\\z'&=z\\v'_{x}&=-v_{x}\end{aligned}}}$

mit den Koordinaten ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ des Beobachters B für dasselbe Ereignis zusammen, falls die beiden Bezugssysteme denselben Ursprung haben, also zum Zeitpunkt ${\displaystyle \textstyle t=t'=0}$ miteinander übereinstimmen. Darin ist ${\displaystyle \textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ der Lorentzfaktor.

Da B sich relativ zu A mit konstanter Geschwindigkeit ${\displaystyle -v}$ bewegt, wenn A dies relativ zu B mit Geschwindigkeit ${\displaystyle +v}$ tut, kann man gemäß dem Relativitätsprinzip ihre Rollen vertauschen. In den Transformationsformeln ändert sich dabei nur das Vorzeichen der Geschwindigkeit. Insbesondere gilt auch

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}\,x'\right)\\\end{aligned}}}$

Während für A die Zeit (Uhr) in B (mit ${\displaystyle x=0}$) anscheinend langsamer läuft als die in A, gilt dies auch andersherum, d. h., für B läuft die Uhr von A (mit ${\displaystyle x'=0}$) langsamer.

Zwei hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in dieselbe Richtung mit Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ ergeben wieder einen Lorentz-Boost mit der Gesamtgeschwindigkeit

${\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {{\frac {v_{1}}{c}}+{\frac {v_{2}}{c}}}{1+{\frac {v_{1}}{c}}\cdot {\frac {v_{2}}{c}}}}.}$

Die Gleichung zeigt, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentz-Transformationen nicht ändert. Ist etwa ${\displaystyle v_{1}}$ die Lichtgeschwindigkeit, das heißt ${\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{c}}=1}$, so ist ${\displaystyle v=c{\tfrac {1+v_{2}/c}{1+v_{2}/c}}=c}$ ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit.

Hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in verschiedene Richtungen ergeben im Allgemeinen keine Lorentz-Boosts, sondern eine allgemeine Lorentz-Transformation: Die Menge der Lorentz-Boosts ist keine Untergruppe der Lorentz-Transformationen.

Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$, die Masse ${\displaystyle m}$, die Teilchenzahl, die elektrische Ladung etc.

Bei einem Lorentz-Boost in Richtung ${\displaystyle x}$ lässt sich zeigen, dass

${\displaystyle c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}}$

gelten muss. Der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$ ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant.

In drei Raumdimensionen ist die Norm ${\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit ${\displaystyle c}$ multiplizierte Masse ${\displaystyle mc}$, und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Vierervektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur etc.

Für einen Lorentz-Boost mit beliebig gerichteter Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ lässt sich der Koordinatenvektor ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}$ des Ereignisses in zwei Komponenten[3][4] ${\displaystyle \textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}}$ zerlegen. Die Indizes ${\displaystyle \parallel }$ und ${\displaystyle \perp }$ bezeichnen dabei die parallele bzw. eine rechtwinklige Richtung zur Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Die transformierten Koordinaten sind dann durch

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\qquad {\vec {r}}_{\parallel }'=\gamma \left({\vec {r}}_{\parallel }-{\vec {v}}t\right),\qquad {\vec {r}}_{\bot }'={\vec {r}}_{\bot }}$

gegeben. Ein von den Beobachtern im gestrichenen System gemessener Abstand ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ ist nur in Bewegungsrichtung ${\displaystyle {\vec {r_{\parallel }}}}$ verkürzt. Dieser Effekt wird Lorentz-Kontraktion genannt. Bei Maßstäben ${\displaystyle {\vec {r_{\bot }}}}$ senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit nicht aus. Zusammengefasst lauten diese Gleichungen in der Matrixschreibweise mit Vierervektoren (und der Einheitsmatrix ${\displaystyle I_{3}}$):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\vec {r}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {v}}^{T}/c\\-\gamma {\vec {v}}/c&\mathrm {I} _{3}+(\gamma -1){\vec {v}}{\vec {v}}^{T}/v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{pmatrix}}}$.

Auf gleiche Weise lassen sich elektromagnetische Felder gemäß ${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }}$ in Komponenten zerlegen.[5] Man erhält die (skalaren) Feldkoordinaten

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{\parallel }&=E_{\parallel }\\B'_{\parallel }&=B_{\parallel }\\E'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }\\B'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }.\end{aligned}}}$

In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten ${\displaystyle v\ll c}$, gilt ${\displaystyle \gamma \approx 1}$. In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen unterschieden zu werden und für die Feldgrößen gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\\\end{aligned}}}$

Die folgenden Überlegungen klären, wie Koordinaten zusammenhängen, die inertiale Beobachter (Beobachter, die fest mit einem Inertialsystem verbunden sind) zur Benennung der Zeit und des Ortes von Ereignissen verwenden. Die Beobachter sollen hier beispielhaft Anna und Bert sein. Annas Koordinatensystem ist durch ${\displaystyle x,y,z,t}$ gegeben und Berts durch die gestrichenen Variablen ${\displaystyle \textstyle x',y',z',t'}$. Es handle sich um rechtwinklige Koordinaten.

Für alle gleichförmig bewegten Beobachter durchlaufen freie Teilchen gerade Weltlinien. Daher muss die Transformation Geraden auf Geraden abbilden. Mathematisch besagt dies, dass die Transformation linear ist.

Stimmen beide Beobachter in der Wahl des Zeitnullpunkts und des räumlichen Ursprungs überein, dann ist die gesuchte Transformation linear und homogen.

Bert bewege sich relativ zu Anna mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$. Die Koordinatensysteme werden so orientiert, dass ${\displaystyle x,x'}$ und ${\displaystyle v}$ auf einer Gerade in einer Richtung liegen. Dann kann man sich auf die Koordinaten ${\displaystyle x,t}$ beschränken.

Die gesuchte Lorentz-Transformation lautet dann

${\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=et+fx.}$

Die Unbekannten ${\displaystyle a,b,e,f}$ sind nun zu bestimmen.

Ein Lichtimpuls, den Anna zur Zeit ${\displaystyle t=0}$ am Ort ${\displaystyle x=0}$ losschickt, wird durch ${\displaystyle x=\pm t}$ beschrieben. Da die Lichtgeschwindigkeit absolut ist, muss für Bert ${\displaystyle x'=\pm t'}$ gelten. Die Gleichungen mit dem Pluszeichen erfordern ${\displaystyle e+f=a+b}$ und die Gleichungen mit dem Minuszeichen ${\displaystyle e-f=-a+b}$. Daraus folgen ${\displaystyle e=b}$ und ${\displaystyle f=a}$, und daraus

${\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.}$

Dies gilt für alle Lorentz-Transformationen, unabhängig von der Relativgeschwindigkeit der Beobachter.

Anna beschreibt Berts Bewegung durch ${\displaystyle x=vt}$, Bert seine eigene durch ${\displaystyle \textstyle x'=0}$. Die Lorentz-Transformation von Annas zu Berts Koordinatensystem muss diese beiden Ausdrücke ineinander überführen. Aus ${\displaystyle \textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0}$ folgt dann ${\displaystyle b=-av}$, also

${\displaystyle t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).}$

Es bleibt noch der Vorfaktor ${\displaystyle a}$ zu bestimmen. Von den Koordinaten kann er nicht abhängen, sonst wäre die Lorentz-Transformation nichtlinear. Bleibt also eine Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit. Man schreibt ${\displaystyle a=a(v)}$. Da die Lorentz-Transformation nicht von der Richtung von ${\displaystyle v}$ abhängen soll, gilt ${\displaystyle a=a(|v|)}$.

Um den Vorfaktor zu bestimmen, führt man eine weitere inertiale Beobachterin Clara mit den Koordinaten ${\displaystyle \textstyle t'',x''}$ und der Relativgeschwindigkeit ${\displaystyle v'}$ in Bezug auf Bert ein. Die Lorentz-Transformation von Berts zu Claras Koordinaten muss wegen des Relativitätsprinzips dieselbe Form wie die obige haben, also

${\displaystyle t''=a'(t'-v'x'),\quad x''=a'(x'-v't'),}$

dabei wurde ${\displaystyle a'=a(v')}$ abgekürzt.

Man kombiniert nun die beiden Transformationen, rechnet also die Koordinaten von Anna in die von Clara um. Es reicht dazu, eine der beiden Koordinaten zu berechnen:

${\displaystyle t''=a'(t'-v'x')=a'(a(t-vx)-v'a(x-vt))=a'a(1+vv')\left(t-{\frac {v+v'}{1+vv'}}x\right).}$

Sitzt Clara neben Anna, ist ${\displaystyle v'=-v}$ und die doppelt gestrichenen Koordinaten sind gleich den ungestrichenen. Der Faktor ${\displaystyle \textstyle (v+v')/(1+vv')}$ verschwindet und der Vorfaktor ${\displaystyle \textstyle a'a(1+v'v)=a'a(1-v^{2})}$ muss gleich 1 sein. Wegen ${\displaystyle \textstyle a(-v)a(v)\cdot (1-v^{2})=1}$ und ${\displaystyle a(-v)=a(v)}$ muss dann

${\displaystyle a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

gelten. Mit der Abkürzung ${\displaystyle \gamma =a(v)}$ ist

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).}$

Die Lorentz-Transformationen lauten daher

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)x\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}.}$

Mit einem Argument von Macdonald[11] kann man die Transformationsformeln aus der Zeitdilatation gewinnen. An einer Lichtfront, die sich in positiver x-Richtung bewegt, hat die Differenzkoordinate ${\displaystyle ct-x}$ überall denselben Wert, ebenso ${\displaystyle \textstyle ct'-x'}$. Man betrachtet eine Front, die durch das Ereignis E geht und irgendwann (vorher oder nachher) auf den bewegten Koordinatenursprung O' trifft, der langsamer als Licht sein muss. Wegen der gleichbleibenden Werte stehen die Differenzkoordinaten bei E in derselben Beziehung zueinander wie am Punkt O'. An diesem gilt ${\displaystyle \textstyle x'=0,\ x=vt}$, sowie nach der Dilatationsformel ${\displaystyle \textstyle t=\gamma t'}$, wobei ${\displaystyle \textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ist. Für die Differenzkoordinaten gilt daher

${\displaystyle ct-x=\left(1-{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'-x')}$.

Analog hat an einer Lichtfront, die sich in negativer x-Richtung bewegt, die Summenkoordinate ${\displaystyle ct+x}$ überall denselben Wert, ebenso ${\displaystyle \textstyle ct'+x'}$. Auch eine solche Front geht durch E (mit gleichen Koordinaten wie oben) und durch O' (zu einem anderen Zeitpunkt als oben). In der Gleichung analog zur vorhergehenden werden nun Summen statt Differenzen gebildet, daher lautet sie

${\displaystyle ct+x=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'+x')}$.

Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt ${\displaystyle ct}$ und ${\displaystyle x}$ als Funktion von ${\displaystyle ct'}$ und ${\displaystyle x'}$.

Howard P. Robertson und andere zeigten, dass die Lorentz-Transformation auch empirisch hergeleitet werden kann. Dazu ist es nötig, allgemeine Transformationsformeln zwischen verschiedenen Inertialsystemen mit experimentell bestimmbaren Parametern zu versehen. Es wird angenommen, dass ein einziges „bevorzugtes“ Inertialsystem ${\displaystyle X,Y,Z,T}$ existiert, in dem die Lichtgeschwindigkeit konstant, isotrop und unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle ist. Ebenso sollen Einstein-Synchronisation und Synchronisation durch langsamen Uhrentransport in diesem System äquivalent sein. Es sei ein weiteres, zu diesem System kollineares System ${\displaystyle x,y,z,t}$ gegeben, dessen räumlicher Ursprung zum Zeitpunkt ${\displaystyle T=t=0}$ mit dem Ursprung des ersten Systems übereinstimmt und in dem die Uhren und Maßstäbe dieselbe interne Konstitution haben wie im ersten System. Dieses zweite System bewegt sich relativ zum ersten System mit konstanter Geschwindigkeit entlang der gemeinsamen ${\displaystyle X}$-Achse. Folgende Größen bleiben dabei zunächst unbestimmt:

• ${\displaystyle a(v)}$ Unterschiede in der Zeitmessung,
• ${\displaystyle b(v)}$ Unterschiede in der Messung longitudinaler Längen,
• ${\displaystyle d(v)}$ Unterschiede in der Messung transversaler Längen,
• ${\displaystyle \varepsilon (v)}$ folgt aus der Konvention zur Uhrensynchronisation.

Daraus ergeben sich folgende Transformationsformeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}}$

${\displaystyle \varepsilon (v)}$ wird nicht direkt gemessen, sondern folgt aus der Uhrensynchronisationskonvention. Hier ist die Einstein-Synchronisation die einfachste Möglichkeit, woraus sich ${\displaystyle \textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}}$ ergibt. Das Verhältnis zwischen ${\displaystyle b(v)}$ und ${\displaystyle d(v)}$ wird aus dem Michelson-Morley-Experiment, das Verhältnis zwischen ${\displaystyle a(v)}$ und ${\displaystyle b(v)}$ aus dem Kennedy-Thorndike-Experiment und schließlich ${\displaystyle a(v)}$ allein aus dem Ives-Stilwell-Experiment bestimmt. Die Experimente ergaben ${\displaystyle \textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma }$ und ${\displaystyle d(v)=1}$, was obige Transformation in die Lorentz-Transformation überführt. Hingegen wurde die Galilei-Transformation ${\displaystyle a(v)=b(v)=d(v)=1}$ damit ausgeschlossen.

Die nicht mit der ${\displaystyle \mathbf {1} }$ zusammenhängenden Lorentz-Transformationen erhält man, indem man die Zeitspiegelung oder die Raumspiegelung

${\displaystyle {\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$

oder beide mit den Lorentz-Transformationen multipliziert, die mit der ${\displaystyle \mathbf {1} }$ zusammenhängen. Die Lorentz-Gruppe ${\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}$ hat vier Zusammenhangskomponenten.