Lorentz-Gruppe

Die Lorentz-Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3+1}}$, der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo-Skalarprodukt ist. Die Lorentz-Gruppe ist die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes, die das Pseudo-Skalarprodukt erhalten.

Sie ähnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O(3) im dreidimensionalen Raum, die aus den linearen Automorphismen des R³ besteht, die das Standardskalarprodukt erhalten und damit Längen und Winkel.

Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Lorentz-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.

Formal können wir daher definieren (definierende Darstellung):

${\displaystyle O(3,1)=\left\{\Lambda \in {\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} ):\langle \Lambda \cdot \mathbf {x} ,\Lambda \cdot \mathbf {y} \rangle _{M}=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}\quad \forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{4}\right\},}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} )}$ die reellen 4×4 Matrizen und ${\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}=-x_{0}y_{0}+\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}}$ das Pseudo-Skalarprodukt (entsprechend der (−,+,+,+)-Konvention) bezeichnet.

Die Lorentz-Gruppe O(3,1) ist eine 6-dimensionale Lie-Gruppe. Sie ist nicht kompakt.

Die räumlichen Drehspiegelungen bilden als die Fixpunktgruppen zeitartiger Vektoren eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Solche Untergruppen sind nicht normal, die Untergruppen zu verschiedenen Fixpunkten (das entspricht verschiedenen Inertialsystemen) sind zueinander konjugiert.

Die Lorentz-Gruppe besteht aus vier Zusammenhangskomponenten. Elemente derselben Zusammenhangskomponente gehen durch Anwendung von infinitesimalen Transformationen auseinander hervor. Im Gegensatz dazu stehen die diskreten Transformationen, die Elemente verschiedener Zusammenhangskomponenten miteinander verbinden: Spiegelungen, Raumspiegelungen, Zeitspiegelungen und Raum-Zeit-Spiegelungen. Die Untergruppe SO(3,1) der Elemente mit Determinante 1 heißt eigentliche Lorentz-Gruppe und enthält zwei der vier Zusammenhangskomponenten. Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist die Zusammenhangskomponente, die die Identität enthält.

Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist nicht einfach zusammenhängend, d. h. nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die universelle einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL(2,C) (diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektiven Darstellungen der O(3,1) in Quantentheorien).

Die sechsdimensionale Lie-Algebra der O(3,1) wird in der definierenden Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger der räumlichen Rotationen J_i und durch die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Boosts K_i aufgespannt. Diese Lie-Algebra ist isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C):

${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=\epsilon _{ijk}J_{k}}$

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-\epsilon _{ijk}J_{k}}$

${\displaystyle [J_{i},K_{j}]=\epsilon _{ijk}K_{k}}$

wobei die Erzeuger J_i der Rotationen eine Lie-Unteralgebra bilden, nämlich die so(3).

Beispiele

Vektorfeld auf R2	Einparametrige Untergruppe von SL(2,C), Möbius-Transformationen	Einparametrige Untergruppe von SO+(1,3), Lorentz-Transformationen	Vektorfeld auf R4
Parabolisch
${\displaystyle \partial _{u}\,\!}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&\alpha \\0&1\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&\alpha &0&-\alpha ^{2}/2\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\\alpha ^{2}/2&\alpha &0&1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle X_{1}=\,\!}$ ${\displaystyle x(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{x}\,\!}$
${\displaystyle \partial _{v}\,\!}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&i\alpha \\0&1\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&0&\alpha &-\alpha ^{2}/2\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\\alpha ^{2}/2&0&\alpha &1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle X_{2}=\,\!}$ ${\displaystyle y(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{y}\,\!}$
Hyperbolisch
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {\beta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\beta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cosh(\beta )&0&0&\sinh(\beta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\beta )&0&0&\cosh(\beta )\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle X_{3}=\,\!}$ ${\displaystyle z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
Elliptisch
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle X_{4}=\,\!}$ ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\,\!}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle X_{5}=\,\!}$ ${\displaystyle -x\partial _{z}+z\partial _{x}\,\!}$
${\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]}$	${\displaystyle X_{6}=\,\!}$ ${\displaystyle -z\partial _{y}+y\partial _{z}\,\!}$

• Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe