Lokaler Ring

• Jeder Körper und jeder Schiefkörper ist ein lokaler Ring, da ${\displaystyle \{0\}}$ das einzige maximale Ideal darin ist.
• Bewertungsringe sind lokale Ringe.
• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen ist nicht lokal. Zum Beispiel sind ${\displaystyle -2}$ und ${\displaystyle 3}$ keine Einheiten, wohl aber ihre Summe ${\displaystyle 1}$.
• Die maximalen Ideale des Restklassenrings ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sind die von den Restklassen von Primteilern von ${\displaystyle n}$ erzeugten Ideale. Der Ring ist also genau dann lokal, wenn ${\displaystyle n}$ eine Primzahlpotenz ist.
• Die Menge aller rationalen Zahlen, welche bei gekürzter Bruchdarstellung im Nenner eine ungerade Zahl stehen haben, bildet einen Unterring der rationalen Zahlen, der ein lokaler Ring ist. Sein maximales Ideal besteht aus allen Brüchen, deren Zähler gerade ist. Diesen Ring schreibt man als:
        ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\left\{\left.{\frac {a}{b}}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb {Z} ,2\nmid b\right\}}$
  und nennt ihn die „Lokalisierung von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bei ${\displaystyle 2}$“. Er entsteht aus ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ durch einen Vorgang, den man Lokalisierung eines Ringes nennt.
• Der Ring der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in einem Körper ist ein lokaler Ring. Sein maximales Ideal besteht aus den Potenzreihen, welche mit dem linearen Glied beginnen. Das konstante Glied verschwindet immer.
• Der Faktorring ${\displaystyle K[X]/(X^{n})}$ des Polynomrings über einem Körper ${\displaystyle K}$ modulo dem von ${\displaystyle X^{n}}$ erzeugten Ideal ist lokal. Sein maximales Ideal besteht aus den Restklassen der Polynome ohne Absolutglied. In diesem Ring ist jedes Element entweder invertierbar oder nilpotent. Einen Spezialfall davon bilden die dualen Zahlen, die Elemente des Faktorrings ${\displaystyle K[X]/(X^{2})}$. Diese Algebra ist als Vektorraum zweidimensional über ${\displaystyle K}$.

Sei ${\displaystyle x}$ ein Punkt in einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, z. B. ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$. Auf der Menge der auf (beliebigen) Umgebungen von ${\displaystyle x}$ definierten stetigen Funktionen definieren wir eine Äquivalenzrelation dadurch, dass zwei auf (evtl. unterschiedlichen) Umgebungen definierte Funktionen äquivalent sein sollen, wenn es eine Umgebung von ${\displaystyle x}$ gibt, auf der beide Funktionen definiert sind und übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen Keime. Addition und Multiplikation von Keimen sind wohldefiniert. Die Menge der Keime stetiger Funktionen in ${\displaystyle x}$ bildet einen lokalen Ring, dessen Maximalideal die Keime der in ${\displaystyle x}$ verschwindenden stetigen Funktionen bilden.

Sei ${\displaystyle V}$ eine algebraische Varietät und ${\displaystyle x\in V}$. Der lokale Ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$ ist definiert als die Menge der Keime regulärer Funktionen in ${\displaystyle x}$. Er ist ein lokaler Ring, dessen Maximalideal die Keime der in ${\displaystyle x}$ verschwindenden regulären Funktionen bilden. Man erhält ihn als Lokalisierung des Koordinatenrings ${\displaystyle k\left[V\right]}$ am zu ${\displaystyle x}$ gehörenden Maximalideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}=k\left[V\right]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$.

Die lokale Dimension von ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle x}$ ist definiert als die Krull-Dimension des lokalen Ringes ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$:

${\displaystyle \dim _{x}V:=\dim {\mathcal {O}}_{x}}$.