Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=-{\frac {p}{(1-p)\ln(1-p)}}}$.

Die Varianz bestimmt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {p\cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}}$.

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {-{\frac {p}{\ln(1-p)+p}}}}}$.

Die Schiefe ergibt sich zu:

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)}$.

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}}$.

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)={\frac {\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}}}$.

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}}$.

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

${\displaystyle f(k+1)={\frac {kp}{k+1}}f(k)}$

mit Startwert

${\displaystyle f(1)={\frac {-p}{\ln(1-p)}}}$.

Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.