Logarithmus

In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B. das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.

Der Schalldruckpegel wird als logarithmisches Maß zur Beschreibung der Stärke eines Schallereignisses verwendet. Dazu wird die Hilfsmaßeinheit Dezibel (dB) verwendet.

Auch für die Sinnesempfindung der Helligkeit hat sich eine logarithmische Bewertung bewährt (Weber-Fechner-Gesetz), da das menschliche Auge zwischen Dämmerung und hellem Sonnenschein bis zu 10,5 Zehnerpotenzen an physikalischer Leuchtdichte überbrücken kann.

Der pH-Wert ist das Maß für den sauren oder basischen Charakter einer wässrigen Lösung. Anmerkung: In der Chemie werden logarithmische Skalen im Allgemeinen durch ein vorangestelltes p (für Potenz) gekennzeichnet, zum Beispiel beim pK_S- oder pK_B-Wert.

Die Richterskala, die zur Beschreibung von Erdbebenstärken genutzt wird, basiert auf einer deka-logarithmischen Einteilung. Die Erdbebenstärke steigt daher von Stufe zu Stufe exponentiell.

Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man die Logarithmengesetze aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch Zwei. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber mit ihren logarithmischen Skaleneinteilungen und Logarithmische Rechentafeln (Logarithmentafeln) weit verbreitete Hilfsmittel.

Typische Aufgabenstellungen bei Wachstums- und Zerfallsprozessen lassen sich durch die Umkehrfunktion des Logarithmus – die Exponentialfunktion – modellieren. Siehe Exponentieller Vorgang, Absorption.

Berechnung der Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer natürlichen Zahl in einem Stellenwertsystem benötigt werden. Um eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ zur Basis ${\displaystyle b}$ darzustellen, werden ${\displaystyle 1+\lfloor \log _{b}n\rfloor }$ Stellen benötigt. Die Klammern bedeuten dabei Abrunden auf die nächste ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle \log _{2}100\approx 6{,}64}$. Die obige Formel liefert den Wert 7. Man braucht also 7 Ziffern, um 100 im Dualsystem darzustellen, nämlich ${\displaystyle 100=1100100_{2}}$. Stellt man hingegen 100 im Hexadezimalsystem dar, dann benötigt man dazu zwei Stellen, denn ${\displaystyle \log _{16}100\approx 1{,}66}$. Es ist ${\displaystyle 100=64_{16}}$.

Die Verteilung der Ziffern von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern, folgt einer logarithmischen Verteilung, dem Benfordschen Gesetz.

Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass, wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von ${\displaystyle \log _{2}{\tfrac {1}{p}}}$ bit ergibt. Zum Beispiel erhält man beim Ergebnis „Kopf“ eines fairen Münzwurfs (${\displaystyle p=0{,}5}$) die Informationsmenge ${\displaystyle \log _{2}2=1}$ bit, und es genügt ein Bit, um diese Information zu codieren.

Der diskrete Logarithmus ist in endlichen Körpern und darauf definierten elliptischen Kurven erheblich aufwändiger zu berechnen als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion. Letztere kann daher als sogenannte Einwegfunktion in der Kryptografie zur Verschlüsselung angewandt werden.

Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technik ebenso wie in der geologischen Zeitskala.

Intervalle haben einen exponentiellen Frequenzverlauf. Das Gehör jedoch empfindet diese als linear. Die Größen von Intervallen werden daher als multiplikative Faktoren auf Frequenzen aufgefasst und als rationale Zahlen oder als Logarithmen angegeben. In diesem Fall wird die Oktave in 1200 Cent unterteilt. Beispiel:

Intervall	Frequenzverhältnis	Größe
1 Oktave	2	1200 Cent
2 Oktaven	4	2400 Cent
3 Oktaven	8	3600 Cent
…
reine große Terz	5:4	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {5}{4}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 386{,}314\,{\text{Cent}}}$
reine Quinte	3:2	${\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {3}{2}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 701{,}955\,{\text{Cent}}}$

Zur graphischen Darstellung von Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie beispielsweise einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.

Der Logarithmus zur Basis ${\displaystyle b}$ ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur positiven Basis ${\displaystyle b\neq 1}$:

${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$

Die Funktionen ${\displaystyle b^{x}}$ und ${\displaystyle \log _{b}x}$ sind also Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

${\displaystyle b^{\log _{b}x}=x\quad {\text{und}}\quad \log _{b}(b^{x})=x.}$

Der natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis ${\displaystyle b=\mathrm {e} }$, wobei

${\displaystyle \mathrm {e} =2{,}718281828459\ldots }$

die Eulersche Zahl ist.

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen ${\displaystyle L}$ der Funktionalgleichung

${\displaystyle L(x\cdot y)=L(x)+L(y).}$

Ihre Lösungen erfüllen stets ${\displaystyle L(1)=0}$ und erweisen sich sogar als differenzierbar. Den natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung

${\displaystyle L'(1)=1.}$

Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis ${\displaystyle b}$ über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man

${\displaystyle L'(1)={\frac {1}{\ln b}}}$

fordern und würde wieder den natürlichen Logarithmus benötigen.

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die Nullfunktion ${\displaystyle L(x)=0}$, die nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird, und die einzige Lösung der Funktionalgleichung, für die auch ${\displaystyle L(0)}$ definiert ist.

Der Logarithmus vermittelt aufgrund obiger Funktionalgleichung daher insbesondere eine strukturerhaltende Abbildung von den positiven reellen Zahlen mit ihrer multiplikativen Struktur auf die gesamten reellen Zahlen mit deren additiver Struktur. Dies kann man auch explizit als Bedingung fordern und gelangt damit zur Herleitung.

Die reellwertigen Logarithmen sind genau die stetigen Isomorphismen

${\displaystyle L\colon (\mathbb {R} ^{+}\!,\,\cdot \,)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+)}$.

Diese Definition legt die Funktion ${\displaystyle L}$ bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig fest.

Der algebraische Zugang betont ebenso wie der Zugang über die Funktionalgleichung die historische Bedeutung des Logarithmus als Rechenhilfe: Er ermöglicht es, eine Multiplikation in eine Addition „umzuwandeln“.

Der natürliche Logarithmus als Fläche unter dem Graphen von 1/x

Die Funktion

${\displaystyle L\colon t\mapsto \int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}$

mit ${\displaystyle t>0}$ ist gerade der natürliche Logarithmus: Es ist ${\displaystyle L=\ln }$. Zum Logarithmus mit der Basis ${\displaystyle b}$ gelangt man durch Division der Funktion ${\displaystyle L}$ durch die Konstante ${\displaystyle L(b)=\ln b}$. Als uneigentliches Integral von ${\displaystyle f}$, oder beliebiger willkürlicher (positiver) unterer Integrationsgrenze, betrachtet, würde man nur noch eine zusätzliche, additive Konstante erhalten, aber immer nur den Logarithmus zur Basis ${\displaystyle \mathrm {e} }$ bekommen.

Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dotsb }$

eingeführt werden. Diese Reihe konvergiert für ${\displaystyle |x|<1}$ und für ${\displaystyle x=1}$.

Für eine numerische Berechnung des Werts ${\displaystyle \ln(1+x)}$ für ${\displaystyle x>1}$ ist die Beziehung ${\displaystyle \ln(1+x)=-\ln {\Bigl (}1+{\Bigl (}-{\frac {x}{1+x}}{\Bigr )}{\Bigr )}}$ nützlich.

Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. B. auf den komplexen Zahlen. Das setzt voraus, dass in der betreffenden Struktur die zur Definition verwendeten Konzepte existieren.

Um etwa den diskreten Logarithmus auf einer Gruppe zu definieren, können Konzepte wie Differentiation/Integration nicht herangezogen werden, weil sie dort gar nicht existieren. (Die Definition geschieht dort als Umkehrung der Potenzierung mit ganzen Exponenten, die wiederum aus mehrfachem Anwenden der einen Verknüpfung der Gruppe definiert ist.)

Im Folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die Variablen ${\displaystyle x,y,x_{i},r,a,b}$ von Null verschieden sind; im Falle des reellen Logarithmus werden die Zahlen sogar als positiv vorausgesetzt. Die Basen ${\displaystyle a,b}$ des Logarithmus dürfen ferner nicht 1 sein.

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

${\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y}$

zur Verfügung; oder allgemeiner:

${\displaystyle \log _{b}(x_{1}x_{2}\dotsm x_{n})=\log _{b}x_{1}+\log _{b}x_{2}+\dotsb +\log _{b}x_{n}}$

bzw.

${\displaystyle \log _{b}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}\log _{b}x_{i}.}$

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

${\displaystyle \log _{b}{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers ${\displaystyle x}$ minus den Logarithmus des Nenners ${\displaystyle y}$.

Insbesondere ergibt sich daraus (da ${\displaystyle \log 1=0}$):

${\displaystyle \log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x}$

Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das Reziprozitätsgesetz:

${\displaystyle \log _{b}{\frac {x}{y}}=-\log _{b}{\frac {y}{x}}}$

Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie ${\displaystyle x+y}$ hergeleitet werden, indem ${\displaystyle x}$ ausgeklammert wird:

${\displaystyle x+y=x\left(1+{\frac {y}{x}}\right).}$

Damit ergibt sich die „Regel“

${\displaystyle \log _{b}(x+y)=\log _{b}x+\log _{b}\left(1+{\frac {y}{x}}\right).}$

Für Potenzen mit reellem Exponent ${\displaystyle r}$ gilt die Regel

${\displaystyle \log _{b}\left(x^{r}\right)=r\log _{b}x.}$

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Auch daraus lässt sich für ${\displaystyle r=-1}$

${\displaystyle \log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x}$

ermitteln.

Der Logarithmus eines Stammbruchs ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ ist der negative Logarithmus des Nenners ${\displaystyle x}$.

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Dieses Dreieck zeigt die Beziehungen zwischen der Potenz, der Wurzel und dem Logarithmus. Geht man von den Ecken in die Richtung der Pfeile, wird man zu einem Ergebnis geleitet

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

${\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{n}]{x}}=\log _{b}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{b}x.}$

Um Logarithmen zur Basis ${\displaystyle b\neq 1}$ mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis ${\displaystyle a\neq 1}$ zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

${\displaystyle \;\;\;\log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}}$,

denn mit ${\displaystyle \;\;y=\log _{b}x\;\;}$ gelten die Umformungen

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{y}&=x\\\log _{a}b^{y}&=\log _{a}x\\y\log _{a}b&=\log _{a}x\\y&={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}\end{aligned}}}$

Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis ${\displaystyle \mathrm {e} }$ (den natürlichen Logarithmus). Mit der obigen Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Ein prominenter Spezialfall, der sich für ${\displaystyle \;a\neq 1\land b\neq 1\;}$ aus obiger Formel ergibt, ist

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\quad }$ oder ${\displaystyle \quad \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}$.

Beispiel

${\displaystyle \log _{10}8={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}10}}={\frac {\ln 8}{\ln 10}}}$

für beliebige positive Zahlen ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle {\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585}$

Beispiel für den Kehrwert der Basis

${\displaystyle \log _{a^{-1}}x=-\log _{a}x}$.

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für nichtpositive Zahlen, also Null und negative Zahlen, nicht definiert. Allerdings erfüllt ${\displaystyle \log _{b}|x|}$ obige Funktionalgleichung für ${\displaystyle L(\cdot )}$, solange nur ${\displaystyle x,y\not =0}$ ist, da diese dort eine Unstetigkeitsstelle hat. Ansonsten würde für ${\displaystyle x=0}$ ja für alle ${\displaystyle y}$ stets ${\displaystyle 0=L(y)}$ folgen, wenn man ihre Gültigkeit auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$, also auch bei ${\displaystyle x=0}$, verlangen würde.

• ${\displaystyle x=\log _{b}0}$ müsste dann ${\displaystyle 0=b^{x}}$ bedeuten. Ist ${\displaystyle b}$ ungleich Null, ist dies jedoch für kein reelles ${\displaystyle x}$ lösbar.
• (als Beispiel die negative Zahl −1) ${\displaystyle x=\log _{b}(-1)}$ müsste dann ${\displaystyle -1=b^{x}}$ bedeuten. Dies ist ebenfalls für keine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ möglich, wenn ${\displaystyle b}$ größer Null ist.

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr. Auch in diesem Zusammenhang ist 0 keine isolierte Singularität, sondern ein Verzweigungspunkt.

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort). Es ergibt sich

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$

für positives ${\displaystyle x}$. Für negatives ${\displaystyle x}$ folgt daraus (wegen ${\displaystyle -x>0}$ und unter Anwendung der Kettenregel)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(-x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac {1}{x}}}$

und wegen ${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{für }}x>0\\-x,&{\text{für }}x<0\end{cases}}}$ lässt sich beides zu

${\displaystyle \forall \ x\neq 0\colon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|={\frac {1}{x}}}$

zusammenfassen. Für allgemeine Logarithmen gilt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}.}$

Für alle reellen ${\displaystyle x\neq 0}$ ist

${\displaystyle \int _{-1}^{x}{{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t}=\ln |x|,}$

wobei für positives ${\displaystyle x}$ (wenn also über den Pol bei ${\displaystyle t=0}$ integriert wird) der Hauptwert des Integrals zu nehmen ist.

Die Stammfunktion (auch bekannt als unbestimmtes Integral) des natürlichen Logarithmus lässt sich durch partielle Integration gewinnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\ln |x|\,\mathrm {d} x}&=\int 1\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|\;-x+C.\end{aligned}}}$

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von de L’Hospital angewendet werden.

Beispiel

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\ln x\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1,}$

da

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}-x\\&=0.\end{aligned}}}$

• Definitionsmenge: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}}$
• Wertemenge: ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Nullstellenmenge bzw. Kurvenschnittpunkte mit den Koordinatenachsen: {1} bzw. (1|0)
• Asymptotisches Verhalten:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}$

• Erste Ableitung:

${\displaystyle (\log _{b}|x|)'={\frac {1}{x\ln b}}}$

• Extrempunkte: keine
• Wendepunkte: keine
• Monotonie: streng monoton steigend/wachsend (wenn ${\displaystyle b>1}$) bzw. fallend (wenn ${\displaystyle b<1}$)
• Flächeninhalt der Fläche zwischen Kurve, y-Achse und x-Achse bis x ≤ 1: ${\displaystyle {\frac {1}{|\ln b|}}}$
• Krümmungsextremum bei ${\displaystyle x_{k}={\frac {1}{{\sqrt {2}}|\ln b|}}}$ mit ${\displaystyle \kappa (x_{k})=-{\frac {2\ln b}{3{\sqrt {3}}}}}$

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 ergibt sich für ${\displaystyle -1<x\leq 1}$ als

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k+1}}{k+1}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \dotsb \\&\qquad \dotsb +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;+\;R_{n+1}(x)\,.\end{aligned}}}$

Sie konvergiert nicht sonderlich schnell an den Rändern des Konvergenzintervalls, das Restglied der ${\displaystyle n}$-ten Partialsumme hat die Größe

${\displaystyle |R_{n+1}(x)|\leq {\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}}.}$

Mit Hilfe der Formel ${\displaystyle \ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)}$ kann man die Berechnung des Logarithmus für beliebige ${\displaystyle x}$ auf die für Werte im Intervall ${\displaystyle {\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}}$ reduzieren, d. h., man findet immer ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle y}$ mit ${\displaystyle 2^{-m}x=1+y}$ und ${\displaystyle |y|\leq {\tfrac {1}{3}}}$

Illustration der Konvergenz der nebenstehenden artanh-Entwicklung für unterschiedliche Anzahl von Summanden

Mehr Flexibilität in der Reduktion auf Zahlen nahe 1 und eine Halbierung des Berechnungsaufwandes bietet folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens hyperbolicus   ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$   beruht,

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\!\!+\,\,R_{n+1}(x)\end{aligned}}}$

mit der Restgliedabschätzung

${\displaystyle |R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2(2n+3)\,|x|}}\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|^{2n+1}.}$

Die Reihe konvergiert für ${\displaystyle x>0}$, zeigt für ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert umso besser, je näher ${\displaystyle x}$ bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man wieder

${\displaystyle \ln x=2m\ln({\sqrt {2}})+\ln(2^{-m}x).}$

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl ${\displaystyle m}$ kann man immer erreichen, dass gilt ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}}$ und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für ${\displaystyle 2^{-m}x}$ berechnet. Allerdings muss man zusätzlich noch eine Näherung für ${\displaystyle \ln {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}\ln 2}$ berechnen, was über die gleiche Reihe erfolgt. Eine solche Transformation auf ein Intervall ${\displaystyle {\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}}$ durch Skalierung von ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle b^{2m}}$ ist auch für andere Werte von ${\displaystyle b}$ möglich, durch die besonders einfache Handhabung der 2 in binär dargestellten Zahlen wird selten ein anderer Faktor verwendet.

Die oben angegebene Potenzreihe von ${\displaystyle \ln(1+x)}$ lässt sich auch als Kettenbruch darstellen:[8]

${\displaystyle \ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

Der natürliche Logarithmus   ${\displaystyle \ln }$   steht, wie im obigen Abschnitt erwähnt, mit dem Areatangens hyperbolicus   ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$   per

${\displaystyle \ln x=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\qquad \,(0<x)}$

in Beziehung, was nach der anderen Seite aufgelöst

${\displaystyle \operatorname {artanh} u={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+u}{1-u}}\qquad (-1<u<1)}$

ergibt.

Die Logarithmen der positiv-ganzzahligen Numeri lassen sich damit in aufsteigenden Einerstufen der Form

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n+1)&=\ln n+\ln {\frac {n+1}{n}}=\ln n+2\operatorname {artanh} {\frac {1}{2n+1}}\\&=2\sum _{\nu =1}^{n}\operatorname {artanh} {\frac {1}{2\nu +1}}\end{aligned}}}$

darstellen und ausrechnen. Dabei verbessert sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe

${\displaystyle \operatorname {artanh} u=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{2k+1}}{2k+1}}=u+{\frac {1}{3}}u^{3}+{\frac {1}{5}}u^{5}+{\frac {1}{7}}u^{7}+\ldots }$

geringfügig mit wachsendem ${\displaystyle n.}$

Mithilfe des Additionstheorems

${\displaystyle \operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} {\frac {u+v}{1+uv}}}$

lässt sich   ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$   und damit auch   ${\displaystyle \ln }$   additiv zerlegen. So ergeben sich beispielsweise die folgenden Identitäten für die natürlichen Logarithmen der ersten Primzahlen. Dabei werde der Übersichtlichkeit halber das Additionstheorem als Gruppengesetz ${\displaystyle \oplus }$[9]

${\displaystyle u\oplus v:=\tanh(\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v)={\frac {u+v}{1+uv}},}$

sowie seine ${\displaystyle n}$-fache Vervielfältigung als

${\displaystyle n\!\odot \!u:=\underbrace {u\oplus u\oplus \dotsb \oplus u} _{n{\text{-mal}}}=\bigoplus _{\nu =1}^{n}u}$

formuliert.

${\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 2\right)}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{3}}}$	${\displaystyle =2\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{17}}}$	${\displaystyle =\;\,7\!\odot \!{\tfrac {1}{19}}\;\ominus \;\;\,2\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}$
${\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 3\right)}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle =3\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;2\!\odot \!{\tfrac {1}{17}}}$	${\displaystyle =11\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;\;\,8\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;5\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}$
${\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 5\right)}$	${\displaystyle ={\tfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle =4\!\odot \!{\tfrac {1}{5}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{161}}}$	${\displaystyle =16\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;12\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}$
${\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 7\right)}$	${\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle =3\!\odot \!{\tfrac {1}{3}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{15}}}$	${\displaystyle =14\!\odot \!{\tfrac {1}{15}}\;\oplus \;\;\,6\!\odot \!{\tfrac {1}{97}}\;\ominus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{127}}}$     sowie
${\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 11\right)}$	${\displaystyle ={\tfrac {5}{6}}}$	${\displaystyle =2\!\odot \!{\tfrac {1}{2}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{10}}}$	${\displaystyle =24\!\odot \!{\tfrac {1}{23}}\;\oplus \;11\!\odot \!{\tfrac {1}{65}}\;\ominus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{485}}.}$

Für die praktische Rechnung sind Zerlegungen bevorzugt, deren Summanden eine Eins im Zähler haben. Wie beim Arkustangens bleiben bei der Verdoppelung

${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2n}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{4n^{3}-3n}}}$

die Einsen im Zähler erhalten.

Für den natürlichen Logarithmus gelten die Grenzwerte

${\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}$

sowie gleichbedeutend damit

${\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t^{1-h}}}\,\mathrm {d} t}$

die man leicht mit der Regel von de L’Hospital bestätigt.

Hierauf basieren die von Adolf Hurwitz für den natürlichen Logarithmus angegebenen Grenzwerte der Folgen ${\displaystyle a_{n}}$ bzw. ${\displaystyle b_{n}}$, die über

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=2^{n}(x_{n}-1)\\b_{n}&=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right),\end{aligned}}}$

wobei

${\displaystyle x_{n+1}={\sqrt {x_{n}}}\quad {\text{mit}}\quad x_{0}=x}$

definiert sind. Wegen ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{x}}\leq b_{n}\leq a_{n}<x-1}$ und weil ${\displaystyle a_{n}}$ monoton fallend und ${\displaystyle b_{n}}$ monoton wachsend ist, folgt die Konvergenz dieser beiden Folgen. Aufgrund von ${\displaystyle a_{n}=b_{n}x_{n}}$ und ${\displaystyle x_{n}\rightarrow 1}$ ergibt sich die Gleichheit der beiden Grenzwerte:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=\ln x.}$

Für eine praktische Berechnung von ln ${\displaystyle x}$ sind diese Grenzwerte wegen der auftretenden Auslöschung jedoch nicht gut geeignet.

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Logarithmus besteht darin, nacheinander die Ziffern der Binärdarstellung des Logarithmus zur Basis 2 zu bestimmen. Dieses Verfahren ist besonders einfach auf Rechenwerken zu implementieren, da es aufwändige Divisionen vermeidet und auch leicht in Festkomma-Arithmetik umsetzbar ist.

Zunächst werden die Vorkommastellen des Zweierlogarithmus (immer im Dualsystem) durch Abzählen der Vorkommastellen der Zahl ${\displaystyle x}$ bestimmt und ${\displaystyle x}$ durch Schieben auf Werte zwischen 1 und 2 normiert.

Der Logarithmus von ${\displaystyle x}$ hat danach die Darstellung

${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}(x)&=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}}$

Quadrieren von ${\displaystyle x}$ schiebt den Logarithmus also um eine Binärstelle nach links, wodurch die Vorkommastelle möglicherweise Eins wird. Dies ist dann der Fall, wenn ${\displaystyle x^{2}\geq 2}$ ist. In diesem Falle wird ${\displaystyle x}$ durch Division durch 2 wieder normiert, was keinen Einfluss auf die verbleibenden Nachkommastellen hat. Damit ergibt sich die folgende Skizze des Verfahrens:

INPUT 1 ≤ x < 2
OUTPUT Nachkommastellen bi der Binärdarstellung von log2(x)

i ← 0
LOOP
   i ← i + 1
   x ← x2
   IF x ≥ 2 THEN
      x ← x / 2
      bi ← 1
   ELSE
      bi ← 0
   END IF
END LOOP

Vereinfachtes Schaltbild eines Logarithmierers

Zur Berechnung des Logarithmus mithilfe eines Analogrechners – also etwa der Erzeugung einer elektrischen Ausgangsspannung ${\displaystyle U_{\text{a}}}$, die den Logarithmus des Nennwerts der Eingangsspannung ${\displaystyle U_{\text{e}}}$ annimmt – kann man sich den exponentiellen Verlauf der Strom-Spannungs-Kennlinie einer Diode zunutze machen. Die nebenstehende Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Logarithmierers mit einem Operationsverstärker, einer Diode ${\displaystyle D}$ und einem Widerstand ${\displaystyle R}$.