Logarithmische Normalverteilung

Wenn ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist ${\displaystyle X=\mathrm {e} ^{\mu +\sigma Z}=\mathrm {e} ^{\mu }(\mathrm {e} ^{Z})^{\sigma }}$ log-normalverteilt mit den Parametern ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma >0}$, geschrieben als ${\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}$. Alternativ können als Parameter die Größen ${\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}$ und ${\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }>1}$ verwendet werden. ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ist ein Skalen-Parameter. ${\displaystyle \sigma }$ oder ebenso ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ bestimmt die Form der Verteilung.

Wenn ${\displaystyle X}$ log-normalverteilt ist, dann ist auch ${\displaystyle Y=aX}$ log-normalverteilt, und zwar mit den Parametern ${\displaystyle \ln(a)+\mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ respektive ${\displaystyle a\mu ^{*}}$ und ${\displaystyle \sigma ^{*}}$. Ebenso ist ${\displaystyle X^{b}}$ log-normalverteilt, mit den Parametern ${\displaystyle b\mu }$ und ${\displaystyle b\sigma }$ respektive ${\displaystyle (\mu ^{*})^{b}}$ und ${\displaystyle (\sigma ^{*})^{b}}$.

Eine stetige, positive Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ unterliegt einer logarithmischen Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ mit den Parametern ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ,\sigma >0}$, wenn die transformierte Zufallsvariable ${\displaystyle Y=\ln(X)}$ einer Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ folgt. Ihre Dichtefunktion ist dann

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\,\exp {\Big (}-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\Big )}={\frac {1}{x\sigma }}\varphi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right),\quad x>0}$,

wobei ${\displaystyle \varphi }$ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Verteilungsfunktion der Log-Normalverteilung (mit ${\displaystyle \mu =0}$)

Damit hat die Log-Normalverteilung für ${\displaystyle x\geq 0}$ die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf logarithmisch geteiltem Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade.

Sei ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ein mehrdimensional (oder multivariat) normalverteilter Zufallsvektor. Dann ist ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\exp({\boldsymbol {Z}})}$ (d. h. ${\displaystyle X_{j}=\exp(Z_{j})}$) multivariat log-normalverteilt. Die mehrdimensionale Log-Normalverteilung ist viel weniger bedeutsam als die eindimensionale. Deshalb bezieht sich der nachfolgende Text fast ausschließlich auf den eindimensionalen Fall.

Ist ${\displaystyle u_{(p)}}$ das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d. h. ${\displaystyle \Phi (u_{(p)})=p}$, wobei ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Log-Normalverteilung gegeben durch

${\displaystyle x_{(p)}=\mathrm {e} ^{\mu +u_{(p)}\cdot \sigma }}$.

Der Median der logarithmischen Normalverteilung beträgt demnach ${\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}$. Er wird auch multiplikativer oder geometrischer Erwartungswert genannt (vgl. geometrisches Mittel). Er ist ein Skalen-Parameter, da ${\displaystyle \mu ^{*}(aX)=a\mu ^{*}(X)}$ gilt.

In Analogie zum multiplikativen Erwartungswert ist ${\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }}$ die multiplikative oder geometrische Standardabweichung. Sie bestimmt (ebenso wie ${\displaystyle \sigma }$ selbst) die Form der Verteilung. Es gilt ${\displaystyle \sigma ^{*}>1}$.

Da das multiplikative oder geometrische Mittel einer Stichprobe von lognormalen Beobachtungen (siehe „Parameterschätzung“ unten) selbst log-normalverteilt ist, kann man seine Standardabweichung angeben, sie beträgt ${\displaystyle (\sigma ^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$.

Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$.

Der Modus, also der häufigste Wert der Verteilung bzw. der Wert, für den die Dichtefunktion ihr Maximum annimmt, beträgt für die logarithmische Normalverteilung

${\displaystyle \operatorname {Modus} (X)=x_{D}=\mathrm {e} ^{\mu -\sigma ^{2}}}$.

Die Varianz ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)}$.

Für die Standardabweichung ergibt sich

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)}}=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}}$.

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}}$.

Die Schiefe ergibt sich zu

${\displaystyle \gamma _{m}=(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}>0}$,

d. h., die Log-Normalverteilung ist rechtsschief.

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i. a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\sigma ^{2}/2}}$. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Log-Normalverteilung mit großem ${\displaystyle \sigma }$ hoch.

Es existieren alle Momente und es gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{n})=\mathrm {e} ^{n\mu +{\frac {n^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\quad n\in \mathbb {N} }$.

Die momenterzeugende Funktion und die charakteristische Funktion existieren für die Log-Normalverteilung nicht in expliziter Form.

Die Lognormalverteilung ist ein Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die Angabe aller Momente nicht charakterisiert ist, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.[1]

Die Entropie der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

${\displaystyle \mu +{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \mathrm {e} \sigma ^{2}\right)}$.

Multipliziert man zwei unabhängige, log-normalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$, so ergibt sich wieder eine log-normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ und ${\displaystyle \sigma }$, wobei ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$. Entsprechendes gilt für das Produkt von ${\displaystyle n}$ solchen Variablen.

Das geometrische Mittel von ${\displaystyle n}$ unabhängigen, gleich verteilten, positiven Zufallsvariablen zeigt für ${\displaystyle n\to \infty }$ genähert eine Log-Normalverteilung, die immer mehr einer gewöhnlichen Normalverteilung gleicht, da ${\displaystyle \sigma }$ abnimmt.

Der Erwartungswert-Vektor ist

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {X}}]_{i}=\mathrm {e} ^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}}$

und die Kovarianzmatrix

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {X}}]_{ij}=\mathrm {e} ^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(\mathrm {e} ^{\Sigma _{ij}}-1).}$[2]

Der Logarithmus einer logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist ${\displaystyle Y}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$-verteilte reelle Zufallsvariable (d. h. normalverteilt mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$), so ist die Zufallsvariable ${\displaystyle X=\mathrm {e} ^{Y}}$ log-normalverteilt mit diesen Parametern ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$.

Wenn ${\displaystyle \sigma \to 0}$ und damit ${\displaystyle \sigma ^{*}\to 1}$ geht, geht die Form der Log-Normalverteilung gegen diejenige einer gewöhnlichen Normalverteilung.

Die Verteilung gehört zu den Verteilungen mit schweren Rändern.

Die Schätzung der Parameter aus einer Stichprobe von Beobachtungen erfolgt über die Bestimmung von Mittelwert und (quadrierter) Standardabweichung der logarithmierten Werte:

${\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln(X_{i}),\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\ln(X_{i})-{\hat {\mu }})^{2}}$.

Die Schätzung der multiplikativen Parameter erfolgt durch ${\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}=\exp({\hat {\mu }})}$ und ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{*}=\exp({\hat {\sigma }})}$. ${\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}}$ ist das geometrische Mittel. Seine Verteilung ist log-normal mit multiplikativem Erwartungswert ${\displaystyle \mu ^{*}}$ und geschätzter multiplikativer Standardabweichung (besser als multiplikativer Standardfehler bezeichnet) ${\displaystyle \mathrm {SEM} ^{*}=({\hat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$.

Wenn keine Einzelwerte vorliegen, sondern nur der Mittelwert ${\displaystyle {\bar {X}}}$ und die empirische Varianz ${\displaystyle {\hat {\mathrm {var} }}}$ der nicht logarithmierten Werte bekannt sind, erhält man passende Parameterwerte über

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=\ln \left({\frac {\hat {\mathrm {var} }}{{\bar {X}}^{2}}}+1\right)}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}=\ln({\bar {X}})-{\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{2}}}$ oder direkt ${\displaystyle \quad {\hat {\mu }}=\ln \left({\bar {X}}^{2}\ {\sqrt[{}]{\frac {1}{{\hat {\mathrm {var} }}+{\bar {X}}^{2}}}}\right)}$.

Allgemein erfolgt die statistische Analyse von log-normalverteilten Größen am einfachsten und Erfolg versprechendsten so, dass die Größen logarithmiert werden und auf diese transformierten Werte die Methoden verwendet werden, die auf der gewöhnlichen Normalverteilung beruhen. Im Bedarfsfall werden dann die Ergebnisse, beispielsweise Vertrauens- oder Vorhersage-Intervalle, in die ursprüngliche Skala zurücktransformiert.

Grundlegendes Beispiel dafür ist die Berechnung von Streuungs-Intervallen. Da für eine gewöhnliche Normalverteilung in einem Bereich von ${\displaystyle \mu \pm \sigma }$ etwa 2/3 (genauer 68 %) und in ${\displaystyle \mu \pm 2\sigma }$ 95 % der Wahrscheinlichkeit enthalten sind, gilt für die Log-Normalverteilung:

Das Intervall ${\displaystyle \ [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]\ }$ enthält 2/3

und das Intervall ${\displaystyle \ [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]\ }$ enthält 95 %

der Wahrscheinlichkeit (und also etwa diese Prozentzahl der Beobachtungen einer Stichprobe). Die Intervalle können in Analogie zu ${\displaystyle \mu \pm \sigma }$ als ${\displaystyle \mu ^{*}\cdot /\sigma ^{*}}$ und ${\displaystyle \mu ^{*}\cdot /(\sigma ^{*})^{2}}$ notiert werden.

In graphischen Darstellungen (untransformierter) Beobachtungen sollten deshalb solche asymmetrische Intervalle gezeigt werden.[3][4]