Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl die ein Irrationalitätsmaß von besitzt, also die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche ganze Zahlen und mit existieren, sodass gilt:

Irrationalität und Transzendenz

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner gibt es eine ganze Zahl mit (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun und ganze Zahlen mit und sind, dann gilt:

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

(Folge A012245 in OEIS)

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.

Literatur

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