Ordinalzahl

Der moderne mathematische Begriff der Ordinalzahlen wurde maßgeblich von dem Mathematiker Georg Cantor entwickelt. Die grundlegende Idee fand er bei Untersuchungen über die Eindeutigkeit der Darstellung reeller Funktionen durch trigonometrische Reihen. Allerdings erwies sich die Ordinalzahltheorie für diese Untersuchungen letztlich nicht als fruchtbar.

Aus Vorarbeiten von Eduard Heine war bekannt, dass die im Intervall ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ stetigen Funktionen eine eindeutige Darstellung als trigonometrische Reihen haben. Cantor zeigte (1870), dass dies für jede Funktion richtig ist, deren trigonometrische Reihe überall konvergiert. Die Frage nach der Existenz von weiteren Funktionenklassen, die diese Eigenschaft besitzen, ist damit aber noch nicht beantwortet. Schon der Satz von Heine ist für Funktionen richtig, die fast überall stetig sind, also solche mit einer endlichen Menge ${\displaystyle E}$ von Unstetigkeitsstellen. Die Frage nach der Eindeutigkeit ist äquivalent zu der Frage, ob das Verschwinden der trigonometrischen Reihe

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$

auf der Menge ${\displaystyle (-\pi ,\pi )\setminus E}$ auch das Verschwinden der Koeffizienten ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}$ und ${\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}$ nach sich zieht. Mengen ${\displaystyle E}$ mit dieser Eigenschaft werden Mengen vom Typ U genannt (aus dem französischen unicité – Eindeutigkeit) und alle anderen Mengen – Mengen vom Typ M (multiplicité – Mehrdeutigkeit).[1] Endliche Mengen sind also Mengen vom Typ U. Indem man ${\displaystyle f(x)}$ zweimal integriert, erhält man die Riemann-Funktion:[2]

${\displaystyle F(x)={\frac {a_{0}}{4}}x^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}{n^{2}}}+Cx+D.}$

Wenn ${\displaystyle F(x)}$ linear ist, dann sind alle ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}$ und ${\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}$ gleich ${\displaystyle 0}$. Wenn man also für eine Menge ${\displaystyle P}$ beweisen würde, dass aus ${\displaystyle \forall x\in ((-\pi ,\pi )\setminus P)(f(x)=0)}$ die Linearität von ${\displaystyle F(x)}$ folgt, dann wäre damit auch die Zugehörigkeit von ${\displaystyle P}$ zum Typ U bewiesen worden. Cantor verwendet diese Idee in seinem Artikel Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen[3] vom Jahre 1871 und zeigt:

„Ist (p,q) irgendein Intervall, in dem nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge P liegt, so ist F(x) in diesem Intervalle linear …“ (dort Seite 131)

Falls ${\displaystyle P}$ unendlich ist, dann hat sie mindestens einen Häufungspunkt. Cantor nennt die Menge der Häufungspunkte einer Menge ${\displaystyle P}$ abgeleitete Menge und bezeichnet sie mit ${\displaystyle P^{(1)}}$, die abgeleitete von ${\displaystyle P^{(1)}}$ bezeichnet er mit ${\displaystyle P^{(2)}}$ usw. (siehe Hauptartikel: Ableitung einer Menge). Falls nach endlich vielen Schritten eine endliche Menge ${\displaystyle P^{(n)}}$ erreicht wird, dann nennt Cantor die Menge ${\displaystyle P}$ eine Menge ${\displaystyle n}$-ter Art. Cantor stellt fest, dass sich die Linearität von ${\displaystyle F(x)}$ in dem Intervall ${\displaystyle (p,q)}$ auch dann beweisen lässt, wenn ${\displaystyle (p,q)}$ endlich viele Punkte der Menge ${\displaystyle P^{(k)}}$ enthält, wobei die Korrektheit dieser Aussage von der Wahl der natürlichen Zahl ${\displaystyle k}$ nicht abhängig ist. Mengen mit einer leeren mehrfachen Ableitung sind also immer vom Typ U.

In diesem Artikel gehen die Cantorschen Überlegungen noch nicht über endliche Iterationsprozesse hinaus; allerdings enthält er schon Denkmuster, die später die gesamte Mengenlehre prägen werden. Er ordnet der Veranschaulichung der reellen Zahlen durch geometrische Punkte eine zweitrangige Rolle zu, indem er die reellen Zahlen als Cauchy-Folgen aus Elementen der Menge ${\displaystyle A}$ der rationalen Zahlen definiert. Die Menge dieser Folgen bezeichnet er mit ${\displaystyle B}$ und definiert dort die für ${\displaystyle A}$ üblichen Rechenarten. Cauchy-Folgen aus Elementen der Menge ${\displaystyle B}$ bilden eine weitere Menge ${\displaystyle C}$. Dieser Prozess lässt sich theoretisch ins Unendliche fortsetzen. Cantor versteht von nun an unter Punkt ein Element irgendwelcher Mengen ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, … Der Aufbau solcher geordneter Hierarchien, bei denen der Übergang von einer Stufe zur nächsten durch Grenzübergänge erfolgt, ist später zu einem häufig eingesetzten Mittel zur Einführung neuer mengentheoretischer Begriffe geworden. Wir werden sehen, dass eine solche Hierarchie auch bei den Ordnungszahlen zu erkennen ist.

Nach dieser Arbeit über trigonometrische Reihen hat sich das Interesse Cantors für das Problem einer gleichzeitig notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Eindeutigkeit der Entwicklung von Funktionen in trigonometrischen Reihen abgeschwächt. Die Frage ist später sehr intensiv von Paul Du Bois-Reymond, Charles-Jean de La Vallée Poussin, William Henry Young, Arnaud Denjoy, Nina Bari, Raichmann und Dmitri Jewgenjewitsch Menschow untersucht worden, allerdings ohne dabei zu einem zufriedenstellenden Ergebnis zu kommen.[1] Cantor selbst hat sich der Aufgabe gewidmet, die Punktmengen danach zu klassifizieren, wann der Prozess des Ableitens endet. Mengen, bei denen das nach endlich vielen Schritten passiert, nennt Cantor Mengen der ersten Gattung. Eine Menge ${\displaystyle P}$ ist genau dann eine Menge der ersten Gattung, wenn der Durchschnitt

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n)}}$

leer ist. Ein natürlicher Gedanke dabei ist, genau diese Menge zu der ersten Ableitung transfiniter Ordnung für Mengen zweiter Gattung zu machen. Cantor bezeichnet sie mit ${\displaystyle P^{(\infty )}}$. Darauf folgen die Ableitungen

${\displaystyle P^{(\infty +1)},\ P^{(\infty +2)},\dotsc ,P^{(2\infty )}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty +n)},\ P^{(3\infty )}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(2\infty +n)},\dotsc }$

${\displaystyle P^{(\infty ^{2})}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty )},\ P^{(\infty ^{3})}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty ^{2})},\dotsc ,\ P^{(\infty ^{\infty })}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty ^{n})},\dotsc }$

Cantor schreibt in seinem Artikel Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten von 1880:[4]

„Durch consequentes Fortschreiten gewinnt man successive die weiteren Begriffe:

${\displaystyle \ P^{(n\infty ^{\infty })},\ P^{(\infty ^{\infty +1})},\ P^{(\infty ^{\infty +n})},\ P^{(n\infty ^{n\infty })},\ P^{(\infty ^{(\infty ^{\infty })})}}$

usw.; wir sehen hier eine dialektische Begriffserzeugung, welche immer weiter führt und dabei frei von jeglicher Willkür in sich nothwendig und consequent bleibt.“

In diesem nicht einmal fünf Seiten langen Artikel ist der ganze Weg vorgezeichnet, wie man aus den natürlichen Zahlen ein vollständiges transfinites System von Ordnungszahlen entwickeln kann. 1883 definierte Cantor diese Zahlenreihe mit zwei Erzeugungsprinzipien, der „Hinzufügung einer Einheit zu einer vorhandenen schon gebildeten Zahl“ und der Bildung einer nächstgrößeren Zahl als Grenze, welcher die vorher definierten Zahlen zustreben, und zwar in der Aufsatzreihe Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten.[5] Von Ordinalzahlen sprach er dann ab 1895 und definierte sie in seinen beiden Artikeln Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre von 1895/97 als Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen.[6]

Visualisierung der Konstruktion natürlicher Zahlen nach John von Neumann

Die Ordinalzahlen sind in der modernen Mathematik ein Begriff der Mengenlehre. Um sie als Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu definieren, ist es naheliegend, die natürlichen Zahlen in eine mengentheoretische Hierarchie einzubetten.[7] Dabei erklärt man die leere Menge für die Null der natürlichen Zahlenfolge. Die leere Menge ist also die im Peano-Axiomensystem der natürlichen Zahlen speziell ausgezeichnete und nicht explizit definierte Zahl ohne Vorgänger. Nach einem Vorschlag von John von Neumann definiert man dann jede weitere Zahl als die Menge der Zahlen, die schon definiert sind:[8]

${\displaystyle 0:=\emptyset }$

${\displaystyle 1:=\{0\}=\{\emptyset \}}$

${\displaystyle 2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}$

${\displaystyle 3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}}$

${\displaystyle 4:=\{0,1,2,3\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}}$

…

${\displaystyle n+1:=n\cup \{n\}=\{0,1,\dotsc ,n\}}$

…

Die Mengen ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ usw. sind durch die Elementrelation (${\displaystyle n\in n+1}$) wohlgeordnet. Zum Beispiel hat die Menge ${\displaystyle 4}$ die Elemente ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, die durch ${\displaystyle 0<1<2<3}$ geordnet werden. Man schreibt deshalb auch ${\displaystyle 4:=\{0<1<2<3\}}$. Eine natürliche Zahl ${\displaystyle a}$ ist also kleiner als eine Zahl ${\displaystyle b}$, wenn ${\displaystyle a}$ ein Element von ${\displaystyle b}$ ist. Für die gesamte Menge der natürlichen Zahlen setzt man: ${\displaystyle \omega$ :=\{0<1<2<3<\dotsb \}} . Die Menge ${\displaystyle \omega }$ stellt ein Modell des Peano-Axiomensystems dar. Ihre Existenz wird in der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert.

Die Theorie der Ordinalzahlen ist eine Abstraktionstheorie, bei der von der wahren Natur der Mengenelemente abgesehen wird und nur solche Eigenschaften untersucht werden, die aus ihrer Anordnung abgeleitet werden können. Man definiert dazu: Eine Bijektion ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ von der total geordneten Menge ${\displaystyle (A,\leq _{A})}$ auf die total geordnete Menge ${\displaystyle (B,\leq _{B})}$ heißt Ordnungsisomorphismus (oder ähnliche Abbildung), wenn ${\displaystyle a\leq _{A}b}$ und ${\displaystyle f(a)\leq _{B}f(b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$ äquivalent sind. Man sagt: die Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind ordnungsisomorph (oder ähnlich) und schreibt ${\displaystyle A\cong B}$, wenn es zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ einen Ordnungsisomorphismus gibt. Eine Gesamtheit aller zueinander ordnungsisomorphen Mengen stellt eine Äquivalenzklasse dar, die Ordnungstypus genannt wird.

Man kann zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer natürlichen Zahl ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge die folgenden drei Aussagen äquivalent:

• Sie ist endlich.
• Die umgekehrte Ordnung ist eine Wohlordnung.
• Jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes Element.

Dies liefert die Grundlage für die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen, die als spezielle wohlgeordnete Mengen so gewählt werden, dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist. Somit ist jede Ordinalzahl also spezieller Repräsentant eines bestimmten Ordnungstypus. Die folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde zuerst von John von Neumann angegeben:[8]

Definition I. (setzt das Fundierungsaxiom voraus): Eine Menge ${\displaystyle S}$ heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von ${\displaystyle S}$ auch Teilmenge von ${\displaystyle S}$ ist und ${\displaystyle S}$ bezüglich der Mengeninklusion ${\displaystyle \subseteq }$ total geordnet ist.

Eine solche Menge ${\displaystyle S}$ ist automatisch wohlgeordnet aufgrund des Fundierungsaxioms, welches besagt: Jede nichtleere Menge ${\displaystyle S}$ hat ein Element ${\displaystyle a}$, das disjunkt zu ${\displaystyle S}$ ist. Die natürlichen Zahlen sind nach dieser Definition Ordinalzahlen. Zum Beispiel ist ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ ein Element von ${\displaystyle 4=\{0,1,2,3\}}$ und gleichzeitig eine Teilmenge. ${\displaystyle \omega }$ ist ebenfalls eine Ordinalzahl, die kleinste transfinite Ordinalzahl (größer als jede natürliche Zahl). Die von-Neumannsche Definition hat gegenüber der ersten Definition den Vorteil, dass sie aus der Sicht der Grundlagenforschung ein innerhalb der axiomatischen Mengenlehre einwandfrei definiertes mengentheoretisches Objekt bestimmt. Jede wohlgeordnete Menge ${\displaystyle X}$ ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl, die man meistens mit ${\displaystyle {\textrm {ord}}(X)}$ oder ${\displaystyle {\overline {X}}}$ bezeichnet.

Die arithmetischen Operationen mit Ordinalzahlen werden als Verallgemeinerung der aus der elementaren Arithmetik bekannten Rechenarten eingeführt. Unter der Summe zweier Ordinalzahlen ${\displaystyle \eta }$ und ${\displaystyle \xi }$ versteht man die Ordinalzahl einer wohlgeordneten Menge, die aus den Elementen der beiden Mengen besteht, wenn alle Elemente von ${\displaystyle \eta }$ in der Wohlordnung vor den Elementen von ${\displaystyle \xi }$ stehen. Dies entspricht genau der Vorstellung, die uns aus den endlichen Zahlen vertraut ist, dass beim Konkatenieren von zwei endlichen Folgen der Länge ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle m}$ eine endliche Folge der Länge ${\displaystyle m+n}$ entsteht. Da man bei den transfiniten Ordinalzahlen zwischen isolierten und Limeszahlen unterscheiden muss, wird bei der Einführung der arithmetischen Operationen darauf geachtet, dass diese stetige Fortsetzungen der finiten arithmetischen Operationen sind. Die Stetigkeit der Rechenoperationen bei den Ordinalzahlen sieht man am deutlichsten in der sogenannten funktionalen Einführung der transfiniten Arithmetik. Die funktionale Einführung der Ordinalzahlarithmetik wird mittels transfiniter Rekursion begründet. Nicht alle aus der finiten Arithmetik bekannten Eigenschaften der Rechenoperationen sind in das Unendliche übertragbar. So ist die Addition im Allgemeinen nicht kommutativ. Mit Hilfe der Cantorschen Polynomdarstellung, die eine Art transfinites Stellenwertsystem ist, lassen sich alternative Rechenoperationen einführen: die so genannten natürlichen Operationen zwischen Ordinalzahlen, so dass keine der aus den finiten Arithmetik bekannten Regeln vermisst werden muss.

Jede Ordinalzahl lässt sich aufgrund ihrer totalen Ordnung durch die Ordnungstopologie zu einem topologischen Raum machen. In dieser Topologie konvergiert die Folge ${\displaystyle (0,1,2,\dots )}$ gegen ${\displaystyle \omega }$, und die Folge

${\displaystyle (\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots )}$

konvergiert gegen ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{.^{.^{.}}}}}$. Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung. Die Mächtigkeit des kleinsten solchen Netzes heißt Konfinalität. Diese kann überabzählbar sein, d. h., im Allgemeinen sind jene Ordinalzahlen nicht Grenzwert einer Folge kleinerer Ordinalzahlen, wie z. B. die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \omega _{1}}$.[42]

Die topologischen Räume ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ werden in Lehrbüchern oft als Beispiel einer nicht abzählbaren Topologie genannt. Zum Beispiel gilt im Raum ${\displaystyle \omega _{1}+1}$, dass das Element ${\displaystyle \omega _{1}}$ im Abschluss der Teilmenge ${\displaystyle \omega _{1}}$ liegt, aber keine Folge in ${\displaystyle \omega _{1}}$ gegen das Element ${\displaystyle \omega _{1}}$ konvergiert. Der Raum ${\displaystyle \omega _{1}}$ erfüllt das erste, aber nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom und ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ keines von beiden.

Der Raum ${\displaystyle \omega _{1}}$ besitzt genau eine (Hausdorff-)Kompaktifizierung, nämlich ${\displaystyle \omega _{1}+1}$. Dies bedeutet, dass die größtmögliche, die Stone-Čech-Kompaktifizierung, hier mit der kleinstmöglichen, der Einpunkt- oder Alexandroff-Kompaktifizierung, übereinstimmt.

• Burali-Forti-Paradoxon

Bei Verwendung der von Neumannschen Definition:

• H. Bachmann: Transfinite Zahlen. Springer, 1967.
• O. Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5.
• P. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin Inc., New York 1966, ISBN 978-0-8053-2327-6.
• P. Komjath, V. Totik: Problems and Theorems in Classical Set Theory. Springer, 2006, ISBN 978-0-387-30293-5.
• K. Hrbacek, Thomas Jech: Introduction to Set Theory. Marcel Dekker Inc., New York 1999, ISBN 0-8247-7915-0.
• Herbert B. Enderton: Elements of Set Theory. Academic Press Inc., New York NY 1977, ISBN 0-12-238440-7.
• J. Barwise (Hrsg.): Handbook of Mathematical Logic. North Holland, 1977, ISBN 978-0-444-86388-1.
• A. Levy: Basic Set Theory. Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7.
• T. Forster: Logic, Induction and Sets. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-53361-9.
• M. Zuckerman: Sets and Transfinite Numbers. Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9.
• M. Deutsch: Einführung in die Grundlagen der Mathematik. Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8.

Bei Verwendung von Ordnungstypen:

• Dieter Klaua: Kardinal- und Ordinalzahlen. Teil 2. Vieweg, Braunschweig 1974, ISBN 3-528-06141-3.[43]
• D. Klaua: Allgemeine Mengenlehre. I., 1968 und II., 1969, Akademie Verlag Berlin.[43]
• W. Sierpinski: Cardinal and ordinal numbers. 1965, ISBN 978-0-900318-02-3.
• K. Kuratowski, A. Mostowski: Set theory. North-Holland, 1968, ISBN 978-0-7204-0470-8.[44]
• M. Potter: Mengentheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1994, ISBN 3-86025-303-4.[43]
• E. Jacobsthal: Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik. In: Mathematische Annalen. 66, 1909, S. 145–194.
• F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publishing Company, New York 1949.
• I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1977, ISBN 3-87144-217-8. (Auch in digitaler Form auf Russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk)

Weitere Quellen:

• K. Schütte: Proof Theory. Springer, 1977, ISBN 0-387-07911-4.
• A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel: Foundations of set theory. North-Holland Publishing Co., 1958.

Wiktionary: Ordinalzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Peter Hancock: Ordinals and Interactive Programs (pdf; 1,3 MB). University of Edinburgh, 2000
• Edmund Weitz (HAW Hamburg): Unendlich plus eins - Was sind Ordinalzahlen? auf YouTube. 16. November 2020.

1. S. Natanson, 1977, Kapitel X., § 6.
2. S. Riemann Function (bei MathWorld).
3. in: Mathematische Annalen 5 (1872) S. 123–132
4. 2. Artikel in: Mathematische Annalen 17 (1880) 357f
5. in: Mathematische Annalen 21 (1883), S. 576f.
6. in: Mathematische Annalen 46 (1895) Seite 499 und Mathematische Annalen 49 (1897) S. 207
7. Was auch für die Mathematik insgesamt deshalb von Vorteil ist, weil dadurch zahlreiche weitere mathematische Begriffe eine mengentheoretische Interpretation erhalten.
8. 15. August 1923 – Brief von Johann von Neumann an Ernst Zermelo (s. H. Meschkowski: Problemgeschichte der neueren Mathematik. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1978, ISBN 3-411-01542-X. XIV.1. sowie Tafel 10.)
9. Genauer: nicht ohne Verwendung des sogenannten Zurückschneidens durch Rangbetrachtung von Alfred Tarski, das aber seinerseits das Vorhandensein schon definierter Ordinalzahlen voraussetzt (s. Levy, 1979, II.7.7, II.7.13).
10. s. Bachmann, 1968, § 3.5
11. Für nicht fundierte Mengenuniversen muss eine solche Funktion nicht unbedingt vorhanden sein.
12. A. Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. 86, 1922, S. 230–237
13. s. Deiser, 2004, 2.6., S. 256 u. 3.1, S. 433 sowie Bachmann, 1968, § 6., § 38., § 42.
14. s. O. Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-45387-1, S. 382–386
15. Für den Beweis, dass ${\displaystyle \omega _{1}}$ eine Menge und keine echte Klasse ist, braucht man innerhalb von ZFC das Ersetzungsaxiom (s. Zuckerman, 1974, 5.12)
16. Über die Ordinalzahlen im Sinne von Russell und Alfred North Whitehead s.: J. Rosser: Logic for Mathematicians. McGraw-Hill Book Company, 1953, ISBN 0-8284-0294-9, XII.
17. W. Quine: New Foundations for Mathematical Logic. In: American Mathematical Monthly. 44, 1937, S. 70–80
18. D. Scott: Axiomatizing Set Theory. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 13, 2, American Mathematical Society, 1971, S. 207–214
19. AM: Allgemeine Mengenlehre – s. Klaua, 1968 u. Klaua, 1969
20. s. Klaua, 1974 sowie D. Klaua: Eine axiomatische Mengenlehre mit größtem Universum und Hyperklassen. In: Monatshefte für Mathematik. 92, 3, 1981, S. 179–195.
21. s. Potter, 1994, 6.2
22. Die Pseudoordinalzahlen sind zwar vor 1923 Zermelo und Mirimanoff bekannt gewesen. Sie haben aber innerhalb von ZFC an Bedeutung gewonnen, erst nachdem von Neumann erkannt hat, dass aus dem Ersetzungsaxiom die Existenz einer Rangfunktion für alle Mengen und einer Ordinalzahlfunktion für alle wohlgeordnete Mengen folgt. Deshalb sind heutzutage die Pseudoordinalzahlen vor allem durch den Begriff von Neumannsche Zahlen bekannt.
23. Hier ist ${\displaystyle \langle x\mid \Phi (x)\rangle =\{x\mid \Phi (x)\land \forall y(\Phi (y)\implies D(x)\subseteq D(y))\}}$, wobei ${\displaystyle D(a)}$ das bezüglich der ${\displaystyle \in }$-Relation kleinste Element von ${\displaystyle \{b\mid a\subseteq b\land T(b)\}}$ ist und ${\displaystyle {\textrm {T}}(a):=\exists d(H(d)\land a={\textrm {acc}}(d))}$, ${\displaystyle {\textrm {H}}(a):=(\forall d\in a)(d={\textrm {acc}}(d\cap a))}$, ${\displaystyle {\textrm {acc}}(a):=\{x\mid x\neq \{y\mid y\in x\}\lor (\exists b\in a)(x\in b\lor x\subseteq b)\}}$.
24. S. Bachmann, 1967, § 4.3 sowie Deiser, 2004, 2.6, S. 257–258 und Enderton, 1977, Chapter 7, S. 182–194.
25. Definition aus Zermelos Nachlass 1915 laut: M. Hallett, Cantorian set theory and limitation of size, Oxford 1984, S. 277f. Diese Definition publizierte erst Paul Bernays, Zermelos damaliger Assistent in Zürich: Bernays, A System of Axiomatic Set Theory II, in: Journal of Symbolic Logic 6 (1941), S. 6 und 10. Zermelo nannte noch die Bedingung ${\displaystyle 0\in y\cup \{y\}}$, die sich aus der letzten Bedingung für die leere Teilmenge 0 ergibt.
26. M. Hallett: Cantorian set theory and limitation of size, Oxford 1984, S. 279, Definition aus Zermelos Nachlass von 1915, publiziert erst in: E. Zermelo: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, in: Fundamenta Mathematicae 16 (1930) (PDF; 1,5 MB), 29-47, Definition S. 31.
27. J. v. Neumann: Zur Einführung der transfiniten Zahlen, 1923, in: Acta scientiarum mathematicarum 1 (1922/23) 199-208, Definition S. 199f., ediert in: J. v. Neumann: Collected Works I, Oxford, London, New York, Paris 1961, S. 24–34. Dieselbe Definition auch in: J. v. Neumann: Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, 1927, in: Mathematische Annalen 99 (1928), 373-391, Definition S. 378.
28. Die Definition geht auf eine Vorlesung Gödels in Wien 1937 zurück laut: Bernays, A System of Axiomatic Set Theory II, in: Journal of Symbolic Logic 6 (1941), S. 10.
29. R. M. Robinson: The theory of classes. A modification of von Neumann's System, in: Journal of Symbolic Logic 2 (1937), S. 29–36.
30. Bernays, A System of Axiomatic Set Theory II, in: Journal of Symbolic Logic 6 (1941), S. 6.
31. s. Levy, 1979, II.2.14, II.3.11, II.3.12, II.3.13, II.3.16
32. Eine Wohlordnungsrelation lässt sich auch zwischen Wohlordnungstypen definieren (zwischen Ordnungszahlen im Sinne von Cantor also). Eine wohlgeordnete Menge ${\displaystyle S}$ heißt kleiner (oder kürzer) als eine wohlgeordnete Menge ${\displaystyle T}$, wenn ${\displaystyle S}$ ordnungsisomorph zu einer echten Untermenge von ${\displaystyle T}$ ist. Es sei die Vereinbarung getroffen, dass im weiteren, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, unter Ordinalzahl eine Ordinalzahl im von Neumannschen Sinne gemeint sein wird und dass die Behauptungen, die aufgestellt werden, Sätze in ZF oder ZFC sind.
33. Man beachte, dass Vereinigung (Durchschnitt) von Elementen einer Menge von transitiven Mengen transitiv ist.
34. Diese Behauptung ist von dem Fundierungsaxiom unabhängig.
35. Gäbe es nämlich solche Zahlen nicht, dann wäre ${\displaystyle {\textrm {On}}}$ Untermenge von ${\displaystyle \operatorname {sup} S}$ (eine echte Menge also).
36. Wenn ${\displaystyle \beta }$ eine Ordinalzahl ist, die größer ist als alle Elemente der Menge ${\displaystyle S}$, dann ist ${\displaystyle \{\gamma \mid \gamma \leq \beta \}\setminus S}$ keine echte Klasse, sondern eine wohlgeordnete Menge und hat daher ein kleinstes Element.
37. s. Bachmann, 1967, § 4.1.3., § 4.1.4
38. Der englische Begriff dafür ist strict upper bound.
39. s. Komjath, Tototik, 2006, 8.2, 8.3, 8.18
40. s. zum Beispiel Schütte, 1997 und Deutsch, 1999, S. 308–309
41. s. Forster, 2003, 7.1; vgl. auch mit I. Phillips: Recursion Theory. In: S. Abramsky, D. Gabbay, T. Maibaum (Hrsg.): Handbook of Logic in Computer Science. Vol. 1, Oxford University Press, 1992, ISBN 0-19-853735-2 sowie Stephen A. Cook, Hao Wang, Characterizations of Ordinal Numbers in Set Theory. Mathematische Annalen, 164, 1, 1966
42. Dies lässt sich allerdings ohne das Auswahlaxiom nicht beweisen, siehe Kenneth Kunen: Set Theory, North Holland, Amsterdam 1980, S. 30 und 33
43. Diesem Buch liegt ein spezielles Axiomensystem zugrunde.
44. In diesem Buch wird nirgendwo das Fundierungsaxiom verwendet.