Aleph-Funktion

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse ${\displaystyle \mathbf {On} }$ der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ mit der kleinsten zu ${\displaystyle \kappa }$ gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus ${\displaystyle \aleph }$ von ${\displaystyle \mathbf {On} }$ auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von ${\displaystyle \aleph }$ an der Stelle ${\displaystyle \alpha }$ bezeichnet man mit ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$, das heißt, ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ist die ${\displaystyle \alpha }$-te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

• ${\displaystyle \aleph _{0}=\left|\omega \right|}$ ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\min _{\kappa >\aleph _{\alpha }}\kappa }$, also die kleinste Kardinalzahl, die größer als ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ist,
• ${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }}$ für Limes-Ordinalzahlen ${\displaystyle \lambda }$.

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist ${\displaystyle \aleph _{0}}$, die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als ${\displaystyle \aleph _{0}}$, ist ${\displaystyle \aleph _{1}}$, und so weiter. Die Frage, ob ${\displaystyle \aleph _{1}}$ gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls ${\displaystyle \alpha }$ eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet ${\displaystyle \omega }$ die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich ${\displaystyle \aleph _{0}}$, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als ${\displaystyle \sup _{n<\omega }\aleph _{n}}$ geschrieben werden.

Es gilt stets ${\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }}$ für alle Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$, für die ${\displaystyle \alpha =\aleph _{\alpha }}$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots }$, der informal als ${\displaystyle \aleph _{\aleph _{\ddots }}}$ dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

• Anfangszahl
• Beth-Funktion
• Gimel-Funktion

• Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
• Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.