Levi-Zerlegung (Lie-Gruppe)

Es sei ${\displaystyle G}$ eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und ${\displaystyle R}$ ihr Radikal, d. h. ein maximaler abgeschlossener, auflösbarer Normalteiler. Dann gibt es eine abgeschlossene, einfach zusammenhängende Untergruppe ${\displaystyle S\subset G}$ mit ${\displaystyle R\cap S=\left\{e\right\}}$, so dass die Abbildung

${\displaystyle (r,s)\to rs,r\in R,s\in S}$

ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle R\times S}$ auf ${\displaystyle G}$ ist.

Die Zerlegung als semidirektes Produkt

${\displaystyle G=R\rtimes S}$

heißt Levi-Zerlegung (auch Levi–Mal'tsev Zerlegung oder Chevalley-Zerlegung), die Untergruppe ${\displaystyle S}$ heißt Levi-Untergruppe. Die Levi-Zerlegung ist nicht eindeutig bestimmt.

Wenn ${\displaystyle G}$ nicht einfach zusammenhängend ist, muss die Levi-Untergruppe im Allgemeinen keine abgeschlossene Untergruppe sein. Sie ist aber stets abgeschlossen, wenn ${\displaystyle H}$ eine (nicht notwendig einfach zusammenhängende) lineare Gruppe (d. h. eine abgeschlossene Untergruppe von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$) oder allgemeiner eine über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definierte algebraische Gruppe ist.

• Die Levi-Untergruppe ${\displaystyle S}$ ist eine reduktive Gruppe.
• Eine Untergruppe ist genau dann die Levi-Untergruppe einer Levi-Zerlegung, wenn sie eine maximale reduktive Untergruppe ist.
• Jede reduktive Untergruppe von ${\displaystyle G}$ ist zu einer Untergruppe von ${\displaystyle S}$ konjugiert.
• Insbesondere sind alle Levi-Untergruppen zueinander konjugiert.

Der Satz von Mostow besagt, dass es auch für jede zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik ${\displaystyle 0}$ eine Levi-Zerlegung gibt. Für algebraische Gruppen über Körpern der Charakteristik ${\displaystyle p>0}$ ist das im Allgemeinen nicht richtig.

Es sei ${\displaystyle G}$ eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Levi-Untergruppe ${\displaystyle S}$ keinen kompakten Faktor hat. Dann gibt es in jedem Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ eine Untergruppe von endlichem Index ${\displaystyle \Gamma ^{*}\subset \Gamma }$, die sich stetig in ein Gitter ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$ deformieren lässt, das ein semidirektes Produkt ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }=(\Gamma \cap R)\rtimes (\Gamma ^{\prime }\cap S)}$ des Gitters ${\displaystyle \Gamma \cap R\subset R}$ mit einem Gitter ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }\cap S\subset S}$ ist.[1]

• E.E. Levi: Sulla struttura dei gruppi finiti e continui. In: Atti. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 40, 1905, S. 551–565 (italienisch).
• A.I. Mal'tsev: On the representation of an algebra as a direct sum of the radical and a semi-simple subalgebra. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR, 36, 1942, S. 2, 42–45 (russisch)
• N. Jacobson: Lie algebras. Republication of the 1962 original. Dover Publications, New York 1979, ISBN 0-486-63832-4.
• A.A. Kirillov: Elements of the theory of representations. Translated from the Russian by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 220. Springer-Verlag, Berlin / New York 1976.
• M.A. Naĭmark, A.I. Štern: Theory of group representations. Translated from the Russian by Elizabeth Hewitt. Translation edited by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 246. Springer-Verlag, New York 1982, ISBN 0-387-90602-9.

• Levi-Mal'tsev decomposition. Encyclopedia of Mathematics

1. Theorem 2.3 in: E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, O. V. Shvartsman: Discrete subgroups of Lie groups. In: Encyclopaedia Math. Sci., 21, Springer, Berlin 2000. Lie groups and Lie algebras, II, S. 1–123, 217–223,