Leslie-Matrix

Die Leslie-Matrix (auch Leslie-Modell genannt) ist ein mathematisches Modell zur Analyse des Bevölkerungswachstums, das im Bereich der theoretischen Ökologie zur Beschreibung von Populationen genutzt wird. Sie wurde von Patrick Holt Leslie (1900–1972) entwickelt und ist eines der bekanntesten Verfahren zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums, wobei man sich auf die einzelnen Altersstufen bezieht.

In der Ökologie beschreibt man damit die Änderungen in einer Organismenpopulation über einen bestimmten Zeitraum. In einem Leslie-Modell wird die Bevölkerung in Gruppen oder in Altersklassen und Lebensstadien unterteilt. Um den nächsten Generationsbestand einer Population zu bestimmen, bildet man das Produkt aus der Leslie-Matrix und einem die vorhergehende Population beschreibenden Vektor.

Um eine Matrix aufzustellen, müssen folgende Informationen über die Population vorhanden sein:

• ${\displaystyle n_{k}}$: die Anzahl Einzelpersonen in der ${\displaystyle k}$-ten Altersklasse
• ${\displaystyle s_{j}}$: der Anteil der Einzelpersonen, der von der ${\displaystyle j}$-ten zur ${\displaystyle (j+1)}$-ten Altersklasse übergeht (überlebt)
• ${\displaystyle f_{k}}$: die Geburtenrate in der ${\displaystyle k}$-ten Altersklasse

Existieren ${\displaystyle \nu }$ Altersklassen (die von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle \nu -1}$ indiziert werden), so entsteht der mit ${\displaystyle \mathbf {n} _{t+1}}$ bezeichnete Populationsvektor zum Zeitpunkt ${\displaystyle t+1}$ aus dem vorhergehenden ${\displaystyle \mathbf {n} _{t}}$ durch folgendes Matrix-Vektor-Produkt:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{0}\\n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\\vdots \\n_{\nu -1}\\\end{pmatrix}}_{t+1}={\begin{pmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&\ldots &f_{\nu -2}&f_{\nu -1}\\s_{0}&0&0&\ldots &0&0\\0&s_{1}&0&\ldots &0&0\\0&0&s_{2}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &s_{\nu -2}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}n_{0}\\n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\\vdots \\n_{\nu -1}\end{pmatrix}}_{t}}$

Hierfür schreibt man auch ${\displaystyle \mathbf {n} _{t+1}=\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} _{t}}$, wobei ${\displaystyle \mathbf {L} }$ die Leslie-Matrix bezeichnet.