Lerner-Index

Ausgehend vom allgemeinen Gewinnmaximierungsproblem eines Ein-Produkt-Monopolisten[2],

${\displaystyle \max _{q}p(q)\cdot q-c(q)}$

(mit ${\displaystyle q}$ der Gütermenge, ${\displaystyle p(q)}$ der Preis-Absatz-Funktion und ${\displaystyle c(q)}$ der Kostenfunktion), lautet die zugehörige Optimalitätsbedingung erster Ordnung

${\displaystyle p'(q^{*})\cdot q^{*}+p(q^{*})-c'(q^{*})=0\Leftrightarrow p(q^{*})-c'(q^{*})=-p'(q^{*})\cdot q^{*}}$.

Sie lässt sich durch Division beider Seiten durch ${\displaystyle p(q^{*})}$ auf folgende Form bringen:

${\displaystyle {\frac {p(q^{*})-c'(q^{*})}{p(q^{*})}}=-{\frac {p'(q^{*})\cdot q^{*}}{p(q^{*})}}=-\left({\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} q}}{\frac {q^{*}}{p^{*}}}\right)}$

Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber gerade der Kehrwert des Absolutbetrages[3] der Nachfrageelastizität ${\displaystyle \epsilon _{p}\equiv \left(\mathrm {d} q/\mathrm {d} p\right)\cdot (p/q)}$. Folglich gilt im Gewinnmaximum:

${\displaystyle {L={\frac {1}{|\epsilon _{p}|}}}}$.

Im Gewinnoptimum der Unternehmung kann der Lerner-Index gemäß dem Überstehenden prinzipiell Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Dabei bedeutet ein größerer Wert mehr Marktmacht. Die beiden extremen Werte kann man dabei als extreme Pole der Marktsituationen vollkommene Konkurrenz (L=0, gar keine Marktmacht) und (vollkommenes) Monopol (L=1, maximale Marktmacht) ansehen. Werte dazwischen deuten auf geringere Monopolgrade hin, mithin also Formen von Oligopolen.

Der Markup hängt hier unmittelbar von der Preiselastizität der Nachfrage ab und verhält sich zu ihr indirekt proportional, d. h. je größer (bzw. kleiner) die Preiselastizität wird, desto kleiner (bzw. größer) wird der Lerner-Index. Hier ist zu beachten, dass ein Wert von Null nur (approximativ) erreicht werden kann, wenn der Nenner gegen unendlich strebt; diesen theoretischen Fall nennt man vollkommen elastische Nachfrage. Ein Wert von Eins wird erreicht wenn gerade die Preiselastizität Eins ist (proportional elastisch). Nun kann die Preiselastizität prinzipiell auch andere Werte annehmen (z. B. 1/2), die mit dem Wertebereich des Lerner-Index nicht vereinbar wären. Diesen Bereich ${\displaystyle 0<|\epsilon |<1}$ nennt man unelastisch. Man geht davon aus, dass der Lerner-Index den Wert 1 nicht überschreiten kann, da ein profitmaximierender Monopolist nie auf dem unelastischen Abschnitt seiner Nachfragekurve produzieren würde.

Insgesamt wird an dieser Formulierung der Optimalitätsbedingung deutlich, dass ein gewinnmaximierender Monopolist stets über einen positiven Markup verfügt – der von ihm gesetzte Preis ist höher als dies im vollkommenen Wettbewerb der Fall wäre bzw. sein könnte. Man ersieht hieran auch, warum das Gleichgewicht im Monopol nicht sozial optimal ist: Ein Kontinuum an Nachfragern vorausgesetzt verlangt der Monopolist strikt mehr als er eigentlich könnte, um gerade noch kostendeckend zu produzieren oder, anders formuliert, er könnte seinen Preis um eine marginale Einheit senken, damit immer noch einen positiven Gewinn aus der Mehrproduktion realisieren und zugleich einem zusätzlichen Nachfrager zu einem Nutzenzugewinn verhelfen (infolge des Preisrückgangs würden überdies alle bisherigen Nachfrager ebenfalls eine Nutzensteigerung erfahren). Er tut dies aber gerade nicht, weil er nicht zwischen Nachfragern diskriminieren (das heißt von ihnen unterschiedliche Preise verlangen) kann und es für ihn lohnender ist, einige Nachfrager durch einen höheren Preis vom Konsum auszuschließen als den Preis für alle Nachfrager zu senken; die Monopolmenge bleibt analog hinter der Polypolmenge zurück.