Lerchsche Zeta-Funktion

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\mathrm {e} ^{-at}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \quad }$ für ${\displaystyle {\begin{cases}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}}$

Das Kurvenintegral

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\,\pi \,i}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(-t)^{s-1}\mathrm {e} ^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}$

mit ${\displaystyle \mathrm {Re} \;a>0,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z<1}$ darf die Punkte ${\displaystyle t=\log z+2\,k\,\pi \,i,\;k\in \mathbb {Z} }$ nicht enthalten.

Ferner ist

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}$

für ${\displaystyle \mathrm {Re} \;a>0}$ und ${\displaystyle |z|<1}$.

Ebenso ist

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}{\dfrac {1}{z}}}{z^{a}}}\,\Gamma (1-s,a\log {\dfrac {1}{z}})+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}$

für ${\displaystyle \mathrm {Re} \,a>0}$.

Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.}$

Sie gilt für alle ${\displaystyle s}$ und komplexe ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z<{\tfrac {1}{2}}}$; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls ${\displaystyle s}$ positiv und ganz ist, gilt

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}z}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}z}{(n-1)!}}\right\}.}$

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s,k){\frac {(-x)^{k}}{k!}}}$

für ${\displaystyle |x|<\mathrm {Re} \,a}$ unter Verwendung des Pochhammer-Symbol ${\displaystyle (s,k)}$ gegeben.

Im Grenzwert ${\displaystyle a\rightarrow -n}$ gilt

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}}$.

Der Spezialfall ${\displaystyle n=0}$ hat folgende Reihe:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}}$

für ${\displaystyle |a|<1}$.

Die asymptotische Entwicklung für ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$ ist gegeben durch

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2\,k\,\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{2\,k\,\pi \,a\,i}}$

für ${\displaystyle |a|<1,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z\notin (-\infty ,0)}$ und

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2\,k+1)\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{(2\,k+1)\pi \,a\,i}}$

wenn ${\displaystyle |a|<1,\;\mathrm {Re} \,s<0,\;z\notin (0,\infty )}$.

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-2\,\pi \,i\,(k-1)a}\,\Gamma (1-s,a\,(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{2\,\pi \,i\,k\,a}\,\Gamma (1-s,a\,(2\,\pi \,i\,k-\log z))}{(2\,\pi \,i\,k-\log z)^{1-s}}}}$

mit ${\displaystyle |a|<1}$ und ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s<0}$.

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\,\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}\,{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)}$

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \,\setminus [1,\infty ){\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>-2\}}$ oder ${\displaystyle \{z=1{\text{ und Re}}\;s>-1\}}$[2]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+1)\,{\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}}$

und

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s)\,\Phi (z,s+2,u)}$.