Lemma von Urysohn

Das Lemma sagt folgendes aus[3]:

Sei ${\displaystyle X}$ ein normaler Raum, d. h., ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von ${\displaystyle X}$ disjunkte Umgebungen besitzen, und seien zwei derartige disjunkte abgeschlossene Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ vorgegeben.

Dann existiert dazu eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$

mit ${\displaystyle f(a)=0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle f(b)=1}$ für alle ${\displaystyle b\in B}$.

1) Das Lemma von Urysohn sagt nichts aus über die Werte der stetigen Funktion ${\displaystyle f}$ außerhalb der abgeschlossenen Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, sondern allein, dass ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$ und ${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$ gilt. Im Falle, dass zu disjunkten abgeschlossenen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ stets ein stetiges ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$ mit ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ und ${\displaystyle B=f^{-1}(1)}$ zu finden ist, nennt man ${\displaystyle X}$ einen perfekt normalen Raum.[4]

2) Für metrische Räume ist eine stetige Funktion ${\displaystyle f}$ der obigen Art sofort anzugeben. Dazu definiert man zu zwei gegebenen disjunkten abgeschlossenen Teilmengen ${\displaystyle A\neq \emptyset }$ und ${\displaystyle B\neq \emptyset }$ von ${\displaystyle X}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ wie folgt[5]:

${\displaystyle x\mapsto f(x):={\frac {d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}}}$     ${\displaystyle (x\in X)}$

Dabei ist ${\displaystyle d(x,Y)}$ der Abstand von ${\displaystyle x\in X}$ zu ${\displaystyle Y\subseteq X}$   ${\displaystyle (Y\neq \emptyset )}$, also

${\displaystyle d(x,Y)=\operatorname {inf} \{d(x,y):y\in Y\}}$.

Die Funktion ${\displaystyle x\mapsto d(x,Y)}$ ist stetig – sogar gleichmäßig stetig – und dabei gilt:[6]

${\displaystyle d(x,Y)=0\iff x\in {\overline {Y}}}$.

Metrische Räume sind demnach immer perfekt normal.[7]

Der Kern des Lemmas von Urysohn liegt in der folgenden Aussage[8]:

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und sei ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ eine dichte Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Darin gegeben sei eine Mengenfamilie   ${\displaystyle (F(d))_{d\in D}}$, bestehend aus offenen Teilmengen  ${\displaystyle F(d)\subseteq X}$   ( ${\displaystyle d\in D}$ ), welche folgenden Bedingungen genüge:

1. Für ${\displaystyle d_{1},d_{2}\in D}$ und ${\displaystyle d_{1}<d_{2}}$ sei stets   ${\displaystyle {\overline {F(d_{1})}}\subseteq F(d_{2})}$  .
2. ${\displaystyle \bigcap _{d\in D}F(d)=\emptyset }$  .
3. ${\displaystyle \bigcup _{d\in D}F(d)=X}$  .

Schließlich sei für ${\displaystyle x\in X}$   folgende Zuordnung definiert:

${\displaystyle x\mapsto f(x):=\operatorname {inf} \{d\in D:x\in F(d)\}}$.

Dann ist durch diese Zuordnung eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon \,X\to \mathbb {R} }$ gegeben.

• G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2.
• John L. Kelley: General topology. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand).
• C. Wayne Patty: Foundations of Topology. PWS-Kent Publishing, Boston 1993, ISBN 0-534-93264-9.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
• Egbert Harzheim; Helmut Ratschek: Einführung in die Allgemeine Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06355-4 (MR0380697).
• John L. Kelley: General topology. Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6.
• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
• Paul Urysohn: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. In: Math. Ann. Band 94, 1925, S. 262–295.
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

• Interpolationssatz von Katětov

1. Bei H. Schubert, S. 79, wird die Herleitung des Lemmas als bemerkenswerte Konstruktion bezeichnet. Bei Jameson, S. 111, steht dazu: Urysohn’s 'lemma' is undoubtedly one of the best theorems in General Topology.
2. Urysohn. In: Mathematische Annalen. Band 94, S. 262 ff.
3. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 80.
4. S. Willard: General Topology. 1970, S. 105.
5. G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 112.
6. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 78.
7. S. Willard: General Topology. 1970, S. 105.
8. G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 111–112.