Lemma von Schwarz-Pick

Es bezeichne ${\displaystyle {\mathbb {D} }:=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|<1\right\}}$ die Einheitskreisscheibe und ${\displaystyle f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ sei eine holomorphe Funktion. Dann gilt für alle ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in {\mathbb {D} },z_{1}\not =z_{2}}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}}$

und für alle ${\displaystyle z\in {\mathbb {D} }}$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man durch ${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|}$ teilt und dann ${\displaystyle z_{1}}$ gegen ${\displaystyle z_{2}}$ gehen lässt.

In der hyperbolischen Geometrie ist

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=2\cdot \tanh ^{-1}\left({\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}\right)}$

der hyperbolische Abstand. Die erste Ungleichung des Lemmas von Schwarz-Pick sagt demnach aus, dass holomorphe Funktionen ${\displaystyle {\mathbb {D} }\rightarrow {\mathbb {D} }}$ bzgl. dieser Metrik Kontraktionen sind.

Ist ${\displaystyle f(0)=0}$ und setzt man in der ersten Ungleichung ${\displaystyle z_{2}=0}$, so erhält man als Spezialfall die Aussage des Schwarzschen Lemmas.

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07247-4, (Vieweg-Studium 47: Aufbaukurs Mathematik).

• Georg Pick Über eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisförmiger Bereiche, Mathematische Annalen, Bd.77, 1916, S. 1–6
• Osserman „From Schwarz-Pick to Ahlfors and beyond“, Notices American Mathematical Society, August 1999, als PDF-Datei hier (PDF; 90 kB)