Lemma von Fatou

Sei ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ein Maßraum. Für jede Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon S\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ gilt

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,}$

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle f_{n}\leq g}$ gibt:

${\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \geq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu }$.

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .}$

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

${\displaystyle g_{n}:=\inf _{k\geq n}f_{k}\nearrow \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}}$

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

${\displaystyle \int _{S}\left(\inf _{k\geq n}f_{k}\right)\leq \int _{S}f_{n}}$

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}\left(\inf _{k\geq n}f_{k}\right)\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}}$.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist ${\displaystyle g_{1}=\sup _{k\geq 1}f_{k}\leq g}$ mit ${\displaystyle g}$ integrierbar, also ist ${\displaystyle g_{1}}$ integrierbar.

Der Grundraum ${\displaystyle S}$ sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

• Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei ${\displaystyle S=[0,1]}$ das Einheitsintervall. Definiere ${\displaystyle f_{n}(x)=n\mathbf {1} _{(0,{\frac {1}{n}})}(x)}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle x\in S}$, wobei ${\displaystyle \mathbf {1} _{(0,{\frac {1}{n}})}}$ die Indikatorfunktion des Intervalls ${\displaystyle (0,{\tfrac {1}{n}})}$ bezeichne.
• Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei ${\displaystyle S}$ die Menge der reellen Zahlen. Definiere ${\displaystyle f_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\mathbf {1} _{[0,n]}(x)}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle x\in S}$. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes ${\displaystyle f_{n}}$ hat Integral eins,

${\displaystyle \int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =1}$

deshalb gilt

${\displaystyle 1=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu }$

Die Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert auf ${\displaystyle S}$ punktweise gegen die Nullfunktion

${\displaystyle 0=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n},}$

daher ist das Integral ebenfalls Null

${\displaystyle 0=\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,}$

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu <\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,}$

${\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu <\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu }$

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei ${\displaystyle S}$ das halboffene Intervall ${\displaystyle [0,\infty )}$ mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ definiere ${\displaystyle f_{n}(x):=-{\tfrac {1}{n}}{\mathfrak {1}}_{[0,n]}(x)}$. Die Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert auf ${\displaystyle S}$ (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes ${\displaystyle f_{n}}$ hat aber Integral −1. Daher ist

${\displaystyle 0=\int _{S}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu >\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} \mu =-1}$.

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Satz von der monotonen Konvergenz

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis. (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
• Walter Rudin: Analysis. Deutsche Ausgabe neu bearbeitet von Norbert Herrmann. 2., korrigierte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-25810-9, S. 376: Kapitel 11, Satz 11.31.