Identität (Logik)

Das Identitätsprinzip lässt sich in zwei Forderungen aufspalten:

• die Identität ununterscheidbarer Dinge
• die Ununterscheidbarkeit identischer Dinge

Die Identität ist eine zweistellige Relation, eine Beziehung zwischen zwei Dingen. Genauer ist sie eine Äquivalenzrelation, mit den folgenden Eigenschaften:

• Reflexivität: Alles ist mit sich selbst identisch.
• Symmetrie: Wenn A mit B identisch ist, so auch B mit A
• Transitivität: Ist A mit B identisch, und B mit C, so auch A mit C

Noch genauer lässt sich die Identitätsrelation bestimmen als die feinkörnigste Äquivalenzrelation in einer Sprache. Das bedeutet, dass bei ${\displaystyle a=b}$ für jede Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ auch ${\displaystyle a\sim b}$ gilt. Eine andere Äquivalenzrelation wäre beispielsweise gleichschwer. Es gilt also, wenn ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle b}$ identisch ist, dass ${\displaystyle a}$ auch gleichschwer wie ${\displaystyle b}$ ist. Dasselbe gilt für alle übrigen Äquivalenzrelationen (gleich groß, gleichfarbig etc.).

Es kann gezeigt werden, dass diese letzte Eigenschaft der maximalen Feinkörnigkeit die Identitätsrelation in eindeutiger Weise charakterisiert. Gibt es neben der Identitätsrelation eine weitere Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim ^{*}}$ mit dieser Eigenschaft so gilt ${\displaystyle a=b}$ genau dann, wenn ${\displaystyle a\sim ^{*}b}$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Identitätsrelation in einem auf Prädikatenlogik basierenden formalen System einzuführen.

In der Prädikatenlogik zweiter Stufe (oder höher) kann die Identität direkt und allgemein definiert werden mit einer Prädikatvariable ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle a=b\equiv _{def}\forall F(F(a)\equiv F(b))}$

Diese Definition ist eine geradlinige Umsetzung des leibnizschen Identitätsprinzips.

In der Prädikatenlogik erster Stufe kann eine Definition gegeben werden, wenn eine formale Theorie eine endliche Anzahl von nicht-definierten Prädikaten enthält. Betrachten wir dazu den Fall einer Mengentheorie mit dem Elementschafts-Prädikat ${\displaystyle \in }$ als einzigem undefinierten Prädikat. Dann ist die Identität wie folgt zu definieren:

${\displaystyle a=b\equiv _{def}\forall x(a\in x\equiv b\in x)\wedge \forall x(x\in a\equiv x\in b)}$

Bei mehreren Prädikaten müssten noch für diese entsprechende Klauseln hinzugefügt werden.

In der Prädikatenlogik erster Stufe gibt es jedoch keine allgemeine Definition, die unabhängig von den verwendeten Prädikaten wäre. Es gibt aber die Möglichkeit einer allgemeinen Einführung entweder über Regeln oder Axiome.

Durch Regeln lässt sich die Identität wie folgt einführen

Identitätsbeseitigung

Aus ${\displaystyle a=b}$ und ${\displaystyle \phi }$ folgt ${\displaystyle \phi [a\leftarrowtail b]}$

(wobei ${\displaystyle \phi [a\leftarrowtail b]}$ eine Formel ist, in der einige oder alle Vorkommen von ${\displaystyle a}$ durch ${\displaystyle b}$ ersetzt worden sind).

Identitätseinführung

Es gilt: ${\displaystyle a=a}$

Die Intuition hinter diesen Regeln ist, dass, wenn man gezeigt hat, dass a = b ist, man in jedem Satz in einem Beweis a (an einigen oder allen Stellen) durch b ersetzen kann. Ferner kann man in einem Beweis immer a = a setzen, da dies offenbar nie falsch ist.

Bei der axiomatischen Einführung setzt man das folgende Axiom-Schema (die so genannte Hao-Wang-Formel):

${\displaystyle \phi \equiv \forall b(a=b\supset \phi [a\leftarrowtail b])}$,

Lies: ${\displaystyle \phi }$ ist genau dann wahr, wenn für alle ${\displaystyle b}$ die Tatsache, dass ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle a}$ identisch ist, bedingt, dass ${\displaystyle \phi [a\leftarrowtail b]}$. Das Axiom impliziert unmittelbar die Identitätsbeseitigung; aus ihm lässt sich jedoch auch sehr einfach die Identitätseinführung, ${\displaystyle a=a}$, ableiten.

• The Identity of Indiscernibles. Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3