Lebesgue-Zerlegung (Funktionen)

Es sei ${\displaystyle \beta }$ das Lebesgue-Borel-Maß. Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Funktion

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$.

Dann ist ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \beta }$-fast überall differenzierbar und es bezeichne ${\displaystyle F'}$ die ${\displaystyle \beta }$-fast überall definierte Ableitung.

Dann gilt: es existiert eine eindeutige Zerlegung

${\displaystyle F=A+S+D}$,

so dass

• ${\displaystyle A(0)=0}$ ist und ${\displaystyle A}$ eine monoton wachsende absolut stetige Funktion ist.
• ${\displaystyle S(0)=0}$ und ${\displaystyle S}$ eine monoton wachsende singuläre Funktion ist.
• ${\displaystyle D}$ eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Sprungfunktion ist

Für die zugehörigen Lebesgue-Stieltjes-Maße ${\displaystyle \mu _{F}}$ bzw. ${\displaystyle \mu _{A},\mu _{S},\mu _{D}}$ gilt dann

${\displaystyle \mu _{F}=\mu _{A}+\mu _{S}+\mu _{D}}$.

Des Weiteren gilt:

• ${\displaystyle \mu _{D}}$ ist der rein atomare Anteil von ${\displaystyle \mu _{F}}$
• ${\displaystyle \mu _{A}+\mu _{S}}$ ist der atomlose Anteil von ${\displaystyle \mu _{F}}$.
• ${\displaystyle \mu _{A}}$ ist absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes ${\displaystyle \beta }$ und besitzt die Radon-Nikodym-Dichte ${\displaystyle F'}$ bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes. Es gilt also für messbare ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mu _{A}(M)=\int _{M}F'\mathrm {d} \beta }$.

• ${\displaystyle \mu _{S}}$ ist singulär bezüglich des Borel-Maßes.

Direkt aus der Lebesgue-Zerlegung folgt der Darstellungssatz. Dabei werden die Normierungsbedingungen ${\displaystyle A(0)=S(0)=0}$ fallen gelassen, da Verteilungsfunktionen im Sinne der Stochastik schon über die Bedingungen ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$ und ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$ festgelegt sind. Die Aussage lautet dann:[2]

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\geq 0}$ mit ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}=1}$, so dass

${\displaystyle F=a_{1}A+a_{2}S+a_{3}D}$.

Hierbei ist

• ${\displaystyle A}$ die Verteilungsfunktion einer absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung
• ${\displaystyle S}$ die Verteilungsfunktion einer stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilung und
• ${\displaystyle D}$ die Verteilungsfunktion einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung kann also eindeutig in einen stetigen, eine diskreten und einen stetigsingulären Anteil aufgespalten werden.

• V.V. Sazonov: Lebesgue decomposition. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg / Dordrecht / London / New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 308.
2. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 262.